27.4 正多边形和圆同步练习 2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

《27.4　正多边形和圆》同步练习 一、基础巩固 知识点1　正多边形的有关概念 1. 给出下列说法:①各边相等的圆内接多边形是正多边形;②各边相等的圆外切多边形是正多边形;③各角相等的圆内接多边形是正多边形;④各角相等的圆外切多边形是正多边形.其中正确的是 (　　) A.①④ B.②③ C.①③ D.②④ 2. 正多边形的中心角与该正多边形一个外角的关系是 (　　) A.互余 B.互补 C.相等 D.互余或互补 3. 在半径为R的圆上依次截取长度等于R的弦,顺次连接各分点得到的多边形是 (　　) A.正三角形 B.正四边形 C.正五边形 D.正六边形 4. 正三角形的边心距、半径和高的比是　　　　　.  5. 如图,△AOB是正三角形,以点O为圆心、OA为半径作☉O,直径FC∥AB,AO,BO的延长线分别交☉O于点D,E,连接BC,CD,DE,EF,FA.求证:六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形. 知识点2　与正多边形有关的计算 6. 如图,正五边形ABCDE内接于☉O,P为上的一点(点P不与点D重合),则∠CPD的度数为(　　) A.30° B.36° C.40° D.43° 7. [2022南充期末]如图,☉O的内接正方形与外切正方形的边长之比是　　　　.  8. [2022南通崇川区月考]如图,已知☉O的内接正六边形ABCDEF的边心距OM=2,则该圆的内接正三角形ACE的面积为　　　　.  知识点3　正多边形的画法 9. 如图,已知☉O的半径为1 cm,求作☉O的内接正八边形. 二、能力提升 1. [2022山西百校大联考]刘徽在《九章算术注》中首创“割圆术”,利用圆的内接正多边形来确定圆周率,开创了中国数学发展史上圆周率研究的新纪元.某同学在学习“割圆术”的过程中,作了一个如图所示的圆内接正十二边形.若☉O的半径为1,则这个圆内接正十二边形的面积为(　　) A.1 B.3 C.π D.2π 2. [2022株洲期末]如图,正五边形ABCDE与正三角形AMN都是☉O的内接多边形.若连接BM,则∠MBC的度数是 (　　) A.12° B.15° C.17° D.19° 3. [2021南京鼓楼区期中]如图,☉O是正八边形ABCDEFGH的外接圆,给出下列结论:①劣弧DF的度数为90°;②AE=DF;③=AE·DF.其中所有正确结论的序号是(　　) A.①②　 B.①③　 C.②③　 D.①②③ 4. [2022商丘模拟]如图,半径为1的☉O与正六边形ABCDEF相切于点A,D,则的长为　　　　.  5. [2022温州模拟]由四个图1所示的四边形和四个图2所示的菱形拼成一个正八边形(如图3),则图3中阴影部分面积与空白部分面积的比值为　　　　　　.  6. 如图,☉O的两条直径AB,CD互相垂直,弦MN垂直平分OB,交OB于点E.求证:MB与MC分别为☉O的内接正六边形和正十二边形的一边. 参考答案 一、基础巩固 1. A　 ②错误,例如:圆外切多边形是菱形,而菱形各边相等,但不是正多边形.③错误,例如:圆内接多边形是矩形,而矩形各角都是90°,但不是正多边形.易知①④正确. 2. C　因为正n边形的中心角为,正n边形的外角均为,所以正多边形的中心角与该正多边形的一个外角相等. 3. D　由题意,可知得到的多边形为正n边形,且这个正n边形的中心角为60°,所以n==6,所以这个多边形是正六 边形. 4. 1∶2∶3　如图,O为正三角形ABC的中心,过点C作CD⊥AB,垂足为D,则CD必过点O,连接OB,设OD=x,则OB=2x,CD=3x,所以△ABC的边心距为x,半径为2x,高为3x,因此正三角形的边心距、半径和高的比为1∶2∶3. 5. 证明:∵△AOB是正三角形, ∴∠AOB=∠OAB=∠OBA=60°,OB=OA, ∴点B在☉O上. ∵FC∥AB,∴∠FOA=∠OAB=60°,∠COB=∠OBA=60°, ∴∠AOB=∠BOC=∠COD=∠DOE=∠EOF=∠FOA=60°, ∴=====, ∴六边形ABCDEF是☉O的内接正六边形. 6. B　如图,连接OC,OD.∵五边形ABCDE是正五边形,∴∠COD==72°,∴∠CPD=∠COD=36°. 7. 1∶ 8. 4　如图,连接OC,OB,过点O作ON⊥CE于点N,∵六边形ABCDEF是正六边形,∴∠COB=60°,又∵OC=OB,∴△COB是等边三角形,∴∠OCM=60°,易得OC=.易得∠OCN=30°,∴ON=OC=,∴CN==2,∴CE=2CN=4,∴该圆的内接正三角形ACE的面积为3××4×=4. 9. 解:(1)如图,作直径AC. (2)作AC的垂直平分线BD交☉O于B,D两点. (3)连接AD,作AD的垂直平分线交于点M. (4