精品解析：北京市陈经纶中学2022-2023学年高一下学期期中诊断数学试题

北京市陈经纶中学期中诊断 高一年级 数学学科 统一卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 2. △ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 3. 已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知,为非零向量，则“”是“与夹角为锐角”的 A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在正方体中，点是线段上的动点，下列与始终异面的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知两个单位向量和的夹角为，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，点，满足，.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知在中，，若满足条件的三角形有且只有一个，则a的取值范围是（ ） A. B. 或 C. D. 或 9. 已知、是异面直线，是、外一点，经过点且与、都相交的直线有（ ） A. 至少1条 B. 最多1条 C. 有且只有1条 D. 可能0条也有可能多于1条 10. 某班设计了一个八边形的班徽（如图），它由腰长为1， 顶角为的四个等腰三角形，及其底边构成的正方形所组成， 该八边形的面积为 A. ； B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 11. 设，则等于__________． 12. 已知O为坐标原点，，，若，则实数m的值为______． 13. 在中，，则__________；若D为BC中点，则__________． 14. 已知函数．则函数的一个零点为__________；若，使得，则的最小值与最大值之和为__________． 15. 关于函数，有下列结论： ①的图象关于点对称； ②的图象关于直线对称； ③的表达式可写成； ④若，则必是的整数倍． 其中所有正确结论的序号是__________． 16. 莱洛三角形，也称圆弧三角形，是一种特殊三角形，在建筑、工业上应用广泛，如图所示，分别以正三角形的顶点为圆心，以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形即为莱洛三角形，已知两点间的距离为2，点为上的一点，则的最小值为______． 三、解答题：本大题共5小题，共70分. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，E是PD上的点． （1）若E、F分别是PD和BC中点，求证：平面PAB； （2）若平面AEC，求证：E是PD中点． 18. 已知函数． （1）求的值； （2）求的最小正周期； （3）求在区间上的最大值和最小值． 19. 现需要设计一个仓库，由上下两部分组成，如图所示，上部分的形状是正四棱锥，下部分的形状是正四棱柱，正四棱柱的高是正四棱锥的高的4倍． （1）若，，则仓库容积（含上下两部分）是多少？ （2）若上部分正四棱锥的侧棱长为6m，当为多少时，下部分的正四棱柱侧面积最大，最大面积是多少？ 20. 若存在△ABC同时满足条件①、条件②、条件③、条件④中的三个，请选择一组这样的三个条件并解答下列问题： （1）求A的大小； （2）求和a的值. 条件①：； 条件②：； 条件③：； 条件④：. 21. 集合A中元素个数记为，若且，则称M为集合A的二元子集．已知集合．若对集合A的任意m个不同的二元子集，均存在集合B同时满足：①；②；③，则称集合A具有性质． （1）当时，若集合A具有性质，请直接写出集合A的所有二元子集以及m的一个取值； （2）当时，判断集合A是否具有性质？并说明理由； （3）若集合A具有性质，求n的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北京市陈经纶中学期中诊断 高一年级 数学学科 统一卷 （时间：120分钟 满分：150分） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的. 1. i是虚数单位，若复数是纯虚数，则实数a的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算化简，再利用纯虚数的定义求解作答. 【详解】，而，且复数是纯虚数， 所以，解得. 故选：B 2. △ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知，，，则b= A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【详解】由余弦定理得， 解得（舍去），故选