第27章 圆专项拓展训练（三） 2022-2023学年华东师大版数学九年级下册

《第27章　圆》专项拓展训练（三） 专项一 圆中常作的辅助线 类型1　连半径,构造等腰三角形 1. [2022潍坊期末]如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠B=36°,以C为圆心、CA长为半径的圆交AB于点D,交BC于点E,则所对的圆心角的度数为(　　) A.55° B.60° C.65° D.72° 2. 如图,A为☉O上的一点,C为☉O外的一点,AC交☉O于点B,且OA=BC,∠C=20°,则∠A的度数为　　　　　 .  类型2　构造同弧(或等弧)所对的圆周角和圆心角 3. 如图,在☉O中,∠ABC=20°,∠DAC=24°,则∠ADO的度数为 (　　) A.43° B.44° C.45° D.46° 4. [2022绵阳期末]如图,AB,CD是☉O的两条弦,它们相交于点P,连接AD,BD,已知AD=BD,AD=4,PC=6,那么CD的长为 (　　) A.6 B.7 C.8 D.9 类型3　遇弦,作垂直弦的半径 5. [2022安徽中考]已知☉O的半径为7,AB是☉O的弦,点P在弦AB上.若PA=4,PB=6,则OP= (　　) A. B.4 C. D.5 6. 如图,已知点O是∠EPF的平分线上的一点,∠EPF的两边PE,PF分别与☉O交于点A,B和C,D.求证:AB=CD. 类型4　遇直径,构造直径所对的圆周角 7. [2022临汾期末]如图,AB是☉O的直径,C,D是☉O上的两点,连接AC,AD,CD.若∠ADC=70°,则∠CAB的度数是 (　　) A.20° B.30° C.70° D.90° 8. 如图,四边形ABCD内接于☉O,CD∥AB,且AB是☉O的直径,AE⊥CD交CD的延长线于点E.若AE=2,CD=3,则AB=　　.  专项二 证明圆的切线的常用方法 类型1　有切点,连半径,证垂直 1.利用角度转换证垂直 1. [2022扬州中考]如图,AB为☉O的弦,OC⊥OA交AB于点P,交过点B的直线于点C,且CB=CP. (1)试判断直线BC与☉O的位置关系,并说明理由; (2)若sin A=,OA=8,求CB的长. 2.利用全等证垂直 2. [2022衡阳中考]如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE. (1)直线BE与☉O相切吗?并说明理由. (2)若CA=2,CD=4,求DE的长. 3.利用勾股定理的逆定理证垂直 3. 如图,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AB于点M,弦MN∥AC且MN交BC于点E,ME=1,BM=2,BE=. (1)求证:AC是☉O的切线. (2)求☉O的半径. 类型2　无切点,作垂直,证半径 4. [2022武汉模拟]如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与☉O相切于点D.求证:AC是☉O的切线. 参考答案 专项一 圆中常作的辅助线 1. D　连接CD.∵∠ACB=90°,∠B=36°,∴∠A=90°-∠B=54°.∵CA=CD,∴∠CDA=∠A =54°,∴∠ACD=180°-54°-54°=72°.故所对的圆心角为72°. 2. 40°　连接OB.∵OB=OA,OA=BC,∴∠ABO=∠A,OB=BC,∴∠BOC=∠C=20°,∴∠ABO =40°,∴∠A=40°. 3. D　连接OA,OC.∵∠ABC=20°,∠DAC=24°,∴∠AOC=2∠ABC=40°,∠COD=2∠CAD =48°,∴∠AOD=40°+48°=88°.∵OA=OD,∴∠ADO=∠OAD=×(180°-88°)=46°. 4. C　如图,连接AC,由圆周角定理知∠C=∠B,∵AD=BD,∴∠B=∠DAB,∴∠DAP=∠C,又∵∠ADP=∠CDA,∴△DAP∽△DCA,∴AD∶CD=DP∶AD,∴AD2=DP·CD=CD·(CD-PC).∵AD=4,PC=6,∴CD=8. 5. D　如图,过点O作OC⊥AB于点C,连接OB,则OB=7,∵PA=4,PB=6,∴AB=PA+PB=10.∵OC⊥AB,∴AC=BC=5,∴PC=PB-BC=1.在Rt△OBC中,根据勾股定理,得OC2=OB2-BC2=72-52=24.在Rt△OPC中,根据勾股定理,得OP===5. 6. 证明:如图,过点O作OM⊥AB于点M,ON⊥CD于点N, 连接OA,OC,则∠OMA=∠ONC=90°. ∵点O在∠EPF的平分线上,∴OM=ON, 又∵OA=OC,∴Rt△AMO≌Rt△CNO,∴AM=CN. ∵OM⊥AB,ON⊥CD, ∴AB=2AM,CD=2CN,∴AB=CD. 7. A　如图,连接BC,∵AB是☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵∠ABC=∠ADC=70°, ∴∠BAC=90°-70°=20°. 8