第6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件 讲义 2022-2023学年九年级下学期数学苏科版

1 第6章 图形的相似 6.4 探索三角形相似的条件 【知识点1 相似三角形的判定】 判定定理 判定定理1： 如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似． 简称为两角对应相等，两个三角形相似． 如图，如果，，则 ． 判定定理2： 如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似． 简称为三边对应成比例，两个三角形相似． 如图，如果，则 ． 判定定理3： 如果两个三角形的两组对应边成比例，并且对应的夹角相等，那么这两个三角形相似． 简称为两边对应成比例且夹角相等，两个三角形相似．如图，如果，，则． 题型1 相似三角形的判定（判定定理1） 1.（越秀区校级二模）如图，在△PAB中，点C、D在AB上，PC＝PD＝CD，∠A＝∠BPD，求证：△APC∽△PBD． 2.（宁德期末）如图，在矩形ABCD中，点E是BC边上的点，AC⊥DE，垂足为F．求证：△ABC∽△ECD． 3.（一线三垂直相似）（淮安期末）如图，在矩形ABCD中，E为AD上一点，EF⊥EC交AB于F，连接FC，求证：△AEF∽△DCE． 题型2 相似三角形的判定（判定定理2） 1.（肥东县月考）如图，在矩形ABEF中，四边形ABCH、四边形CDGH和四边形DEFG都是正方形，图中的△ACD与△ECA相似吗？请说明理由． 2.如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，△ABC和△DEF的顶点都在格点上，P1、P2、P3、P4、P5是△DEF边上的5个格点，请按要求完成下列各题： 直接写出一个与△ABC相似的三角形，使它的三个顶点为P1、P2、P3、P4、P5中的三个格点． 题型3 相似三角形的判定（判定定理3） 1.（浦东新区校级月考）如图，点D，E分别在线段AB和AC上，BE与CD相交于点O，AD•AB＝AE•AC，DF∥AC，求证：△DOF∽△DOB． 2.（蜀山区校级期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE． 题型4 相似三角形的判定（多结论问题） 1.（（阿勒泰地区一模）如图，G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC上的点，且AG＝CE，AE⊥EF，AE＝EF，现有如下结论：①BE＝DH；②△AGE≌△ECF；③∠FCD＝45°；④△GBE∽△ECH．其中，正确的结论有（　 　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2.（淄川区期末）如图，在正方形ABCD中，E为CD的中点，P为BC边上一点，在下列条件中：①∠APB＝∠EPC；②AB•PC＝EC•BP；③P为BC的中点；④PB：BC＝2：3．其中能得到△ABP与△ECP相似的是（　 　） A．①②③④ B．①③④ C．①②④ D．②③ 3.（南召县期中）如图，在△ABC中，DE∥BC，AD：DB＝1：2，DE＝2，则下列叙述正确的是（　 　） ①BC＝4；②；③；④△ADE∽△ABC． A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②④ 4.天心区期中）如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED的是（　 　） ①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③；④． A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 题型5 相似三角形的判定（网格问题） 1.（芝罘区期末）如图，小正方形的边长均为1，则A、B、C、D四个选项中的三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（　 　） A． B． C． D． 2（龙港区一模）如图所示的4个三角形中，相似三角形有（　 　） A．1对 B．2对 C．3对 D．4对 3.（鹿邑县期末）如图，A、B、C、D、E、G、H、M、N都是方格中的格点（即小正方形的顶点），要使△DEF与△ABC相似，则点F应是G、H、M、N中的（　 　） A．H或N B．G或H C．M或N D．G或M 题型6 相似三角形的判定（动点问题） 1.（龙口市期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝8cm．点M从点C出发，以2cm/s的速度沿CA向点A匀速运动，点N从点B出发，以1cm/s的速度沿BC向点C匀速运动，当一个点到达终点时，另一点也随即停止运动． （1）经过几秒后，△MCN的面积等于△ABC面积的？ （2）经过几秒，△MCN与△ABC相似？ 2.（濮阳期末）在△ABC中，AB＝6cm，AC＝9cm，动点D从点B开始沿BA边运动，速度为1cm/s；动点E从点A开始沿AC边运动，速度为2cm/s．如果D，E两动点同时运动，那么当它们运动 　或　s时，由D，A，E三点连成的三角形与△ABC相似． 3.（渭滨区期末）如图所示，在平行四边形ABCD中，∠A＝90°，A