5.3简单的轴对称图形 等腰三角形专题讲义2022-2023学年北师大版年级下册数学

7下数学5.3简单的轴对称图形等腰三角形专题 考向一 等腰三角形的性质 图形 性质 腰 腰 底边 顶角 底角 底角 （1）等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； （2）等腰三角形是轴对称图形； （3）等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线和底边上的高重合；（简称“三线合一”），它们所在的直线都是等腰三角形的对称轴． 考点1﹣1 等腰三角形的性质 【例1】（1）已知等腰三角形的一内角是70°，则底角的度数是 ； （2）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°，则其底角的度数为 ． 【练习1】 （1）已知等腰三角形的一个角为80°，则顶角为 ； （2）已知等腰三角形的一内角是120°，则底角的度数是 ； （3）已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则其底角的度数为 ． 【例2】 （1）一个等腰三角形的两边长分别为4cm和5cm，则周长为 ； （2）已知等腰三角形周长为24，一边长为6，则另外两边的长为 ； （3）若一个等腰三角形的底边为5cm，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为3cm， 则这个等腰三角形的腰长为 ． 【练习2】 （1）若一个等腰三角形的两边长分别为4和10，则这个三角形的周长为 ； （2）等腰三角形周长为13cm，其中一边长为3cm，则该等腰三角形的底边长为 ； （3）若等腰三角形一腰上的中线将其周长分为15cm和12cm两部分，则这个等腰三角形的底边长为 ． 【例3】如图，在△ABC中，∠A = 36°，∠C = 72°，∠ABC的平分线交AC于点D，则图中共有等腰三角形 个． 【练习3】如图，在△ABC中，AB = AC，点D、E在BC边上，∠ABD =∠DAE =∠EAC = 36°，则图中等腰三角形的个数是 个． 【例4】如图，在△ABC中，AB = AD = DC，∠B = 70°，则∠C的度数为 ． 【练习4】如图，AB = BC = CD = DE = EF，∠A = 18°，则∠GEF的度数是 ． 【例5】如图，在△ABC中，AB = AC，且D为BC上一点，CD = AD，AB = BD，则∠B的度数为 ． 【练习5】如图，在△ABC中，AB = AC，且BC = BD = DE = EA，则∠A = ． 【例6】如图，在△ABC中，AB = AC = 5，F是BC边上任意一点，过F作FD⊥AB于D，FE⊥AC于E，若S△ABC = 10，则FE + FD = ． 【练习6】在△ABC中，AB = AC，P是BC上任意一点． （1）如图①，若P是BC边上任意一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，BD为△ABC的高线，试探求PE，PF与BD之间的数量关系； （2）如图②，若P是BC延长线上一点，PF⊥AB于点F，PE⊥AC于点E，CD为△ABC的高线，试探求PE，PF与CD之间的数量关系． 考向二 等腰三角形存在性 等腰三角形存在性：两圆一中垂 分类讨论：根据顶点 ① 当AB = AC时，点C在以A为圆心，AB为半径的圆上； ② 当BA = BC时，点C在以B为圆心，AB为半径的圆上； ③ 当CA = CB时，点C在AB的垂直平分线上． 考点2﹣1 等腰三角形存在性 【例7】已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A、B两点在格点上，位置如图，点C也在格点上，且△ABC为等腰三角形，则点C的个数为 个． 【练习7】如图，A、B、C三点均为格点，△ABC为等腰三角形，则满足条件的点C有 个． 【例8】如图，已知在△ABC中，AB = AC = 10cm，BC = 8cm，点D为AB的中点，点P在线段BC上由B点向C点运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． （1）如果点P、Q的速度均为3厘米/秒，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等？请说明理由； （2）若点P的运动速度为2厘米/秒，点Q的运动速度为2.5厘米/秒，是否存在某一个时刻，使得△BPD与△CQP全等？如果存在请求出这一时刻并证明；如果不存在，请说明理由． 【练习8】如图，△ABC中，AB = AC = 6cm，BC = 4cm，点D为AB中点． 如果点P在线段BC上以1cm/s的速度由点B向点C运动，同时，点Q在线段CA上由点C向点A运动． （1）若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请