第四章 三角形之三角形全等 常作辅助线专题 2022--2023学年北师大版七年级数学下册

北师大版7下数学第四章三角形之三角形全等常作辅助线专题 专题一 角平分线辅助线（一） 角平分线辅助线（一） 角平分线辅助线——构造对称型全等 辅助线一——垂直辅助线 【例1】如图，已知AB⊥BC，DC⊥BC，AE平分∠BAD，DE平分∠ADC，以下结论：①∠AED=90°；②点E是BC的中点；③DE=BE；④AD=AB+CD. 其中正确的是 . 【练习1-1】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E为CD上一点，AE，BE分别平分∠DAB、∠CBA． （1）求证：AE⊥BE； （2）求证：AB＝AD+BC； （3）若AE＝4，BE＝6，则四边形ABCD的面积为　 　（直接写出结果）． 【练习1-2】如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AC，垂足为E，BF∥AC交 ED的延长线于点F，若BC恰好平分∠ABF，AE＝2BF．给出下列四个结论：①DE＝DF； ②DB＝DC；③AD⊥BC；④AC＝3BF．其中正确的结论为（　　） A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 专题二 倍长中线法 角平分线辅助线（一） 关键：中线&中点 步骤：倍长中线，构8字旋转型全等; 辅助线语言：延长AD到E，使得DE=AD，连接CE. 结论：两个全等三角形（△ABD≌△ECD），一组平行（AB∥CE） 变式：平行+中点→延长得8字型全等： 特别的，若中点所在线段的两端点分别在一组平行线上，则可以通过延长线段得到交点，从而得到8字型全等. 【例2-1】如图，在△ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围． 【例2-2】如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，延长AE交BC的延长线于点F. （1）△DAE和△CFE全等吗？说明理由； （2）若AB=BC+AD，说明BE⊥AF； （3）在（2）的条件下，若EF=6，CE=5，∠D=90°，你能否求到E到AB的距离？如果能请直接写出结果. 【练习2-1】如图，在四边形ABCD中，AD⊥CD，AD∥BC，E为CD的中点，连接AE、BE，且AE平分∠BAD，延长AE交BC的延长线于点F． （1）求证：FC＝AD； （2）求证：AB＝BC+AD； （3）求证：BE是∠ABF的平分线； （4）探究△ABE、△BEC和△AED的面积间的数量关系，并写出探究过程． 【练习2-2】在△ABC中，AD平分∠BAC，G为BC的中点， FG∥AD交CA延长线于E． 求证：BF=EC． 【练习2-3】如图，在△ABC中， AB≠AC，D、E在BC上，DE=EC，过D作DF//BA交AE于点F，DF=AC．求证：AE平分∠BAC． 专题三 半角模型 半角模型 图1 图2 条件：如图1，正方形ABCD中，∠EAF=∠BAD=45°； 结论：EF=DF+BE； 辅助线作法：如图2，延长CD至点G，使得DG=BE，连接AG； 原理：证二次全等.先证△AGD≌△AEB（SAS）→旋转型全等 再证△AGF≌△AEF（SAS）→对称型全等 【例3】正方形ABCD中，∠MAN = 45°，∠MAN绕点A顺时针旋转，它的两边分别交CB、DC（或它们的延长线）于点M、N． （1）当∠MAN绕点A旋转到BM = DN时（如图1），证明：BM + DN = MN； （2）当∠MAN绕点A旋转到BM ≠ DN时（如图2），线段BM，DN和MN之间的数量关系为 ； （3）当∠MAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间又有怎样的数量关系？请证明你的猜想. （1）如图1：在四边形ABC中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E，F分别是BC，CD上的点．且∠EAF＝60°．探究图中线段BE，EF，FD之间的数量关系并证明．（提示：延长CD到G，使得DG＝BE） （2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°．E，F分别是BC，CD上的点，且∠EAF＝ ∠BAD，上述结论是否仍然成立，并说明理由； （3）如图3，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西20°的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东60°的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东50°的方向以80海里/小时的速度前进.1小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达E，F处，且两舰艇之间的夹角为70°，试求此时两舰艇之间