3、三角形与四边形 诊断集训7-【一战成名·新中考】2022中考数学三轮冲刺考前逆袭方案（河北专用）

板块诊断集训·河北数学 诊断集训７ （总分：４３分　时间：４０分钟） 注：１～７题每小题３分，８小题每空２分 １．下列图形中，一定能得到ａ∥ｂ的是 （　　） ２．如图，正方形ＡＢＣＤ中，ＡＢ＝２，点Ｅ是ＢＣ上一点（可与Ｂ、Ｃ重合），连接ＡＥ，则ＡＥ的长不可能是 （　　） Ａ．２ Ｂ．２．２ Ｃ．２．５ Ｄ．３ 第２题图 　　　　　 第３题图 　　　　　 第４题图 ３．问题：如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ，求证：∠Ｂ＝∠Ｃ． 小明的想法是：添加一条辅助线，构造全等三角形求证． 以下添加辅助线的方法正确的是 （　　） Ａ．添加ＢＣ边上的高 Ｂ．添加∠Ｂ的平分线 Ｃ．添加ＡＢ边上的中线 Ｄ．添加ＡＣ的垂直平分线 ４．如图，已知村庄Ｃ在村庄Ａ的北偏东６０°方向，村庄Ｃ在村庄Ｂ北偏西３０°方向，则∠ＡＣＢ＝ （　　） Ａ．８０° Ｂ．８５° Ｃ．９０° Ｄ．１００° ５．在如图所示的６×６网格中，给出了Ａ，Ｂ，Ｃ三个格点，若在网格内的格点中再选一点Ｄ，使得以 Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ为顶点 的四边形是平行四边形，则点Ｄ的个数为 （　　） Ａ．１个 Ｂ．３个 Ｃ．４个 Ｄ．８个 第５题图 　　　　　　 第６题图 ６．如图，已知Ａ，Ｂ，Ｃ三个点不共线，直线ｍ在点Ａ，Ｂ，Ｃ所在的平面上，且点Ａ，Ｂ，Ｃ到直线 ｍ的距离均相等，这样 的直线ｍ有 （　　） Ａ．０条 Ｂ．１条 Ｃ．３条 Ｄ．无数条 ７．问题：如图①，在等腰直角三角形ＡＢＣ中，ＡＣ＝ＢＣ＝４，∠ＡＣＢ＝９０°，在△ＡＢＣ内画一个矩形，且矩形的四个顶点 均在△ＡＢＣ的边上，求矩形的最大面积及其最长边的长． 甲、乙、丙三人均做出了自认为面积最大的矩形，并计算出了最长边ｎ． 第７题图 甲：如图②，以点Ｃ为一个直角顶点作出最大的正方形，ｎ＝２； 乙：如图③，作一条边在ＡＢ上的正方形，ｎ＝ 槡４２３； 丙：如图④，作一条边在ＡＢ上的矩形，且另外两个顶点分别为ＡＣ，ＢＣ的中点，ｎ＝２．５． ７７ 板块诊断集训·河北数学 则下列判断正确的是 （　　） Ａ．甲、乙的做法正确，结论也正确 第８题图 Ｂ．甲、丙的做法正确，结论也正确 Ｃ．甲、乙的做法错误，结论也错误 Ｄ．甲、丙的做法正确，丙的结论错误 ８．如图，两个正六边形关于直线ｍ对称． （１）若正六边形的边长为３，则图中阴影部分的周长为　　　　； （２）若点Ａ，Ａ′，Ｂ在一条直线上，则∠Ａ′ＯＢ＝　　　　°． ９．（９分）如图，在菱形ＡＢＣＤ中，对角线ＡＣ与ＢＤ相交于点Ｏ，点Ｐ是 ＡＣ延长线上一点，过点 Ｐ分别作 ＡＤ，ＤＣ延 长线的垂线，垂足分别记为点Ｅ，Ｆ． （１）若ＣＰ＝ＡＤ，求证：△ＡＤＯ≌△ＣＰＦ； （２）若∠ＡＢＣ＝１２０°，ＡＢ＝２，求ＰＥ－ＰＦ的值． 第９题图 １０．（９分）如图，在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，ｔａｎＢ＝３４，点Ｄ为ＢＣ边上的动点（点 Ｄ不与点 Ｂ，Ｃ重合）．作∠ＡＤＥ＝ ∠Ｂ，射线ＤＥ交ＡＣ边于点Ｅ，过点Ａ作ＡＦ⊥ＡＤ交射线ＤＥ于点Ｆ，连接ＣＦ． （１）求证：△ＡＢＤ∽△ＤＣＥ； （２）当ＤＥ∥ＡＢ时，求ＡＥ的长． 第１０题图 ８７ 参考答案及解析·河北数学 板 块 诊 断 ２２＋（槡３３）槡 ２ 槡＝ ３１．综上所述，ＰＣ的长度为槡４３或槡３１． 第７题解图 　　 第８题解图 ８．经过； 槡２－３　【解析】（１）如解图，连接 ＢＤ交 ＥＦ于点 Ｏ，∵ 四边形 ＡＢＥＦ与四边形 ＣＤＦＥ全等，∴ＢＥ＝ＤＦ，∵四边形 ＡＢＣＤ是平行四边形，∴ＢＥ∥ＤＦ，∴∠ＢＥＯ＝∠ＤＦＯ，∠ＥＢＯ ＝∠ＦＤＯ，∴△ＢＯＥ≌△ＤＯＦ，∴ＯＢ＝ＯＤ，∴点 Ｏ是平行四 边形 ＡＢＣＤ的中心，即 ＥＦ经过平行四边形 ＡＢＣＤ的中心； （２）如解图，过点Ａ作ＡＧ⊥ＢＣ于点Ｇ，过点Ｆ作ＦＨ⊥ＢＣ于 点Ｈ，则四边形 ＡＧＨＦ是矩形，∴ＡＧ＝ＦＨ，ＧＨ＝ＡＦ＝ＣＥ．在 Ｒｔ△ＡＢＧ中，ＡＢ 槡＝２２，∠ＡＢＣ＝４５°，∴ＡＧ＝ＢＧ＝２，∴ＦＨ＝ ２，∵∠ＣＥＦ＝１５０°，∴∠ＦＥＨ＝３０°，在 Ｒｔ△ＦＥＨ中，∠ＦＥＨ ＝３０°，∴ＥＨ 槡＝３ＦＨ 槡＝２３．∵ＢＣ＝ＢＧ＋ＧＨ＋ＨＥ＋ＣＥ，∴６ 槡＝２＋２３＋２ＧＨ，解得ＧＨ 槡＝２－３，∴ＡＦ的长为 槡２－３． ９．（１）证明：∵四边形ＡＢＣＤ是矩形，∴∠Ａ＝∠Ｄ＝９０°． ∴∠ＡＥＦ＋∠ＡＦＥ＝９０°， ∵ＣＥ⊥ＥＦ，∴∠ＡＥＦ＋∠ＤＥＣ＝９０°， ∴∠ＡＦＥ＝∠ＤＥＣ，∴△ＡＥＦ∽△ＤＣＥ； （２）ｙ＝－１４ｘ ２＋２ｘ． １０．（１）证明略； （２）解：如解图①，当ＡＤ⊥ＢＣ时，ＡＤ最小． ∵ＡＢ＝ＡＣ，ＡＤ⊥ＢＣ，∠ＢＡＣ＝１２０°， ∴∠ＢＡＤ＝∠ＣＡＤ＝６０°， ∴ＡＤ＝ＡＢ·ｃｏｓ∠ＢＡＤ＝１２ＡＢ＝３， 即ＡＤ的最小值为３； 第１０题解图① （３）解：由（２）易得ＢＣ 槡＝６３． 如