2023年中考数学复习：存在性问题系列二次函数中线段和面积的最值存在性问题专题探究

2023年中考复习存在性问题系列 二次函数中线段和面积的最值存在性问题专题探究 二次函数是中考的热门考点，也是压轴考点。同学们在平时做题时涉及到二次函数产生的线段和面积最值问题往往无从下手，那么本专题将着重解决以二次函数为背景的线段和面积最值问题，希望学习完本专题后，同学们能精准解题，掌握这类问题的解题方法. 解题攻略 1.我们给出如下定义 铅锤高：平行y轴的线段长我们定义为铅锤高； 水平宽：平行x轴的线段长我们定义为水平宽。 如图，结合上述定义可知：铅锤高等于两点的纵坐标之差(大-小)；水平宽等于两点的横坐标之差(大-小)。 即： 2.平面直角坐标系中三角形的面积公式： 采用割补法可以求出平面直角坐标系中三角形的面积公式为： 推导如下 其中AD是铅锤高，h1+h2是水平宽，且h1+h2很好算，为C点横坐标减B点横坐标(xc-xb)。 关键是求出AD的长。 发现AD=ya-yd，所以将问题转化为求D点的纵坐标， 又D点在BC上，且BC的解析式可以求出来，且A点和D点的横坐标相同， 故求出BC解析式后将A点横坐标带入该解析式中即可得到D点的纵坐标。 这样，△ABC的面积就求出来了。 3. 方法总结 从上述过程中我们总结出求直角坐标系下三角形面积更加一般性的解题步骤： （1）过动点(如上图2中A点)作y轴的平行线交定直线(如上图2中BC)，得到铅锤高(如上图2中AD)； （2）：求定直线的解析式； （3）：设动点坐标(一般在二次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)； （4）：用动点坐标的代数式表示铅锤高(如上图中的AD=ya-yd，这步是核心)； （5）：； （6）：计算求解。 典例剖析 一、线段最值问题 1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值． 【变式训练】 2.（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)求线段的最大值； (3)当时，求点的坐标． 3.如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）． （1）求抛物线的表达式； （2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值． 4.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D． （1）求此函数的关系式； （2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标； （3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？ 2、 面积的最值问题 5.（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A． (1)求出抛物线解析式的一般式； (2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标； (3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值． 6.（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点． (1)求该抛物线的解析式； (2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． (3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由． 7.如图，二次函数y=x²+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，点P是直线BC下方的抛物线上一个动点。 (1) 求这个二次函数的解析式； (2) 是否存在一点P，当P点运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？若存在，求出点P坐标和最大面积；若不存在，请说明理由。 8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线． (1)求抛物线的解析式； (2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值． 解析版 一、线段最值问题 1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值． 解：过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图， 当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0， 解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），A（﹣1，0）