专题：球的组合体问题（外接或内切）讲义-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

专题： 球的组合体问题（外接或内切） 目前，我们学习过的基本立体图形包括：棱柱、棱锥、棱台、圆柱、圆锥、圆台、球。基本图形之间通过拼接或者挖去一个部分构成简单几何体，而简单几何体外接球和内切球问题是高中数学立体几何的重要内容，其本质是考察它们的位置关系.确定球心的位置是解决这类问题的关键，抓住截面圆、找到连心线、利用(知二求一），通过等面积、等体积、方程思想等方法解决问题是该内容的核心！ 知识梳理： 一、预备知识 （一）与球的有关性质 性质1. 球体是由半圆绕其直径旋转而成，球心到求面任意一点的距离相等，为球的半径。 性质2. 球的任意一个截面都是圆，其中过球心的截面叫做球的大圆，其余的截面都叫做球的小圆. 性质3. 球的小圆的圆心和球心的连线垂直于小圆所在的平面. 反之，球心在球的小圆所在平面上的射影是小圆的圆心. 性质4. 球的两个平行截面的圆心的连线垂直于这两个截面，且经过球心 性质5. 球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r 的关系为: （二）三角形的外心。即为三角形各边垂直平分线的交点，外心到图形各顶点的距离相等。 三角形的外心位置： 1　 锐角三角形------三角形内部 2　 钝角三角形------三角形外部 1　 直角三角形--------斜边中点 3　 等边三角---------高的三等分点处 4　 任意三角形外接圆半径满足正弦定理， 2、 解决球的组合体问题的常规步骤： （1）找球心O通过以上步骤，可以看出，找到球心并确定半径是解决球的组合体问题的关键中的关键！ （2）求半径R（通过几何关系或勾股定理） （3） 三、解决球的组合体问题的常用方法 （1） 直接法（圆柱、圆锥、圆台、直棱柱） （1） 若这个几何体是圆柱、圆台或圆锥，它一定有外接球，这个外接球的球心与半径，分别等于这个旋转体轴截面的外接圆的圆心和半径. （2） 若这个几何体是，即直棱柱的所有顶点都在同一个球面上，则该直棱柱外接球的球心是直棱柱的两个底面的外接圆的圆心的连线的中点。 2　 若该直棱柱为直三棱柱，且侧棱长为h，底面三角形外接圆半径为r（或可用正弦定理求得它）则外接球半径为 图1 图2 图3 3　 该直棱柱为正方体，则该正方体内切球、外接球、棱切球的球心都是正方体的中心， 若正方体棱长为，则这三种球的半径分别为. 4　 该直棱柱为长方体，则该长方体的外接球的球心是其体对角线的中点；若长方体的长、宽、高分别为，则外接球的半径是； 【典型题例】1已知三棱柱的六个顶点都在同一球面上，且底面，是等边三角形，，，则该球的表面积为(　　) A． B． C． D． 【强化训练】1 1.已知直四棱柱的所有顶点都在球的球面上，，，直四棱柱的体积为，则球的半径为___________. 2.在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（       ）． A． B． C． D． 3.直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于　　． （二）构造法（锥体的外接球问题 步骤：画出球体---确定组合图形的底面---找到球心---求出半径---代入公式 考点1 构造长方体求解 （1）墙角模型。遇到以下3种三棱锥(有三条两两垂直的直线)，均可构造长方体求解外接球半径； 求解外接球半径步骤： ① 确定球心的位置：外接球的球心是长方体的体对角线的中点； ② 求半径：长方体的体对角线即外接球直径，则. 【典型题例】2 如图，在三棱锥中，平面，，，，，则三棱锥外接球的体积为 . 【强化训练】2 1.在三棱锥中，平面，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 2.《九章算术》中记载，堑堵是指底面为直角三角形的直三棱柱，阳马是指底面为矩形且一条侧棱垂直于底面的四棱锥，如图，在堑堵中，，=3，当阳马的体积为8时，堑堵的外接球表面积的最小值是（       ） A． B． C． D． 3.在三棱锥中，已知平面，，，，，则三棱锥的外接球的体积为（       ）． A． B． C． D． 4.已知三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为（       ） A． B． C． D． 5.三棱锥的各顶点都在球的球面上，，⊥平面，，球的表面积为，则三棱锥的表面积为 _________． 考点2 对棱相等的三棱锥 若三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等()，求外接球半径. 求解外接球半径步骤 ① 确定球心的位置：如上图构造一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； ② 求半径： 设长方体的长宽高分别为，，列方程组 求出外接球的半径是 【典型题例】3 在三棱锥