13.2.2 空间两条直线的位置关系-【题型分类归纳】2022-2023学年高一数学同步讲与练(苏教版2019必修第二册)

13.2.2 空间两条直线的位置关系 一、空间两条直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 相交直线 在同一平面内 有且只有一个 平行直线 在同一平面内 没有 异面直线 不同在任何一个平面内 没有 二、基本事实4 1、文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． 2、符号表述：⇒a∥c. 3、作用：证明两条直线平行 三、等角定理 1、文字语言：如果空间中一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同，那么这两个角相等。 2、等角定理的两个推论 （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 3、作用：判断和证明两个角相等或互补。 四、异面直线 1、定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。 2、异面直线的画法： ① ② 3、异面直线所成角 （1）定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b， 我们把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）角的范围：异面直线所成的角θ的取值范围：0°＜θ≤90°. （3）当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b. 垂直有两种情况：异面垂直和相交垂直． 五、求两异面直线所成的角的步骤 1、作角：根据异面直线所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； 2、证角：证明作出的角就是要求的角，即证明所作角的两边分别与两条异面直线平行 3、计算：求角的值，常利用解三角形得出。 可用“一作二证三计算”来概括．同时注意异面直线所成角范围是0°＜θ≤90°. 4、结论：若求出的角时锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角； 若求出的角是钝角，则它的补角就是所求异面直线所成的角。 六、证明异面直线垂直的步骤 1、作出两异面直线所成的角； 2、求出两异面直线所成角的余弦值或在特殊在三角形中说明垂直关系； 3、得出结论. 题型一 直线与直线平行证明 【例1】（2023·全国·高一专题练习）如图，空间四边形ABCD，E、H分别是AB、CD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且，求证：直线EH与直线FG平行． 【变式1-1】（2022·高一课时练习）如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1的中点，求证：四边形BFD1E是平行四边形. 【变式1-2】（2023·全国·高一专题练习）已知棱长为的正方体中，，分别为，的中点．求证：四边形是梯形． 【变式1-3】（2022·高一课时练习）如图，在正方体中，E，F，，分别是棱AB、AD、、的中点．求证：四边形为平行四边形． 题型二 等角定理及其应用 【例2】（2023·高一课时练习）两等角的一组对应边平行，则（ ） A．另一组对应边平行 B．另一组对应边不平行 C．另一组对应边垂直 D．以上都不对 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）不在同一个平面内的两个三角形的三组对应边分别平行，则这两个三角形（ ） A．一定是全等三角形 B．一定是相似但不全等的三角形 C．一定是相似或全等的三角形 D．可能不全等或相似 【变式2-2】（2022·高一课时练习）已知角的两边和角的两边分别平行，且，则（ ） A． B． C．或 D．不能确定 【变式2-3】（2021春·高一课时练习）在正方体中，，，分别为棱，，的中点，试证明：． 题型三 异面直线的判定 【例3】（2023春·全国·高一专题练习）已知三条直线，，满足且，则与（ ） A．平行 B．垂直 C．共面 D．异面 【变式3-1】（2023·高一单元测试）正方体中，与对角线成异面直线的棱有（ ） A．3条 B．4条 C．6条 D．8条 【变式3-2】（2023春·全国·高一专题练习）如图所示，长方体中，，P是线段上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（ ） A． B． C． D． 【变式3-3】（2023·高一课时练习）（多选）如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体，则下列说法中正确的是（ ） A．直线与直线共面 B．直线与直线异面 C．直线与直线共面 D．直线与直线异面 题型四 求异面直线所成角 【例4】（2023春·高一课时练习）如图所示，在长方体中，，AE=2． （1）求直线B