考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点03 等式与不等式的性质6种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 比较两个数(式)的大小 考点二 不等式的性质及应用 考点三 求代数式的取值范围 考点四 不等式的证明 考点五 不等式的实际应用 考点六 不等式的综合问题 1、比较两数(式)大小的方法 作差法 作商法 原理 设a，b∈R，则 a－b>0⇒a>b；a－b＝0⇒a＝b；a－b<0⇒a<b 设a>0，b>0， 则>1⇒a>b；＝1⇒a＝b；<1⇒a<b （若，则；；.） 步骤 作差并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断差与0的大小⇒得结论 作商并变形（配方、因式分解、通分等）⇒判断商与1的大小⇒得结论（如果两个数都是正数，一般用作商法，其它一般用作差法.） 注意 利用通分、因式分解、配方等方法向有利于判断差的符号的方向变形 作商时各式的符号应相同，如果a，b均小于0，所得结果与“原理”中的结论相反．变形方法有分母(或分子)有理化，指、对数恒等变形等 注：比较两式大小还可用函数的单调性法 将要比较的两个数作为一个函数的两个函数值，根据函数的单调性得出大小关系． 2、不等式的基本性质 性质 性质内容 对称性 传递性 可加性 可乘性 同向可加性 同向同正可乘性 可乘方性 3、分数性质 若a>b>0，m>0，则 (1)真分数性质：<；>(b－m>0). (2)假分数性质：>；<(b－m>0). 其中真分数性质也常被称为“糖水不等式”，即“糖水加糖后，糖水更甜(浓度变大)；糖水析出糖后，糖水变淡(浓度变小). ” 4、利用不等式的性质判断正误的2种方法 利用不等式性质进行命题的判断时，判断不等式是否成立，需要逐一给出推理判断(判断成立时)或反例说明(判断不成立时)，在实际考查中，多与一些常见函数单调性结合考查. (1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质或函数的相关性质证明；对于说法错误的只需举出一个反例即可； (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性． 5、利用待定系数法求代数式的取值范围 在约束条件下求多变量函数式的范围时，不能脱离变量之间的约束关系而独立分析每个变量的范围，否则会导致范围扩大，而只能建立已知与未知的直接关系. 已知M1<f1(a，b)<N1，M2<f2(a，b)<N2，求g(a，b)的取值范围． (1)设g(a，b)＝pf1(a，b)＋qf2(a，b)； (2)根据恒等变形求得待定系数p，q； (3)再根据不等式的同向可加性即可求得g(a，b)的取值范围．不可忽略a，b的制约关系，而单独求出a，b的范围，再求g(a，b). 考点一 比较两个数(式)的大小 1．（2023秋·河南许昌·高三校考期末）已知，则（    ） A． B． C． D．与的大小无法判断 2．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 3．（2023·湖北·校联考模拟预测）已知，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（2023·高三课时练习）（1）已知a＞b＞0，c＜d＜0，求证：； （2）设x，，比较与的大小. 5．【多选】（2023·湖南永州·统考三模）已知，下列命题为真命题的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 6．（2023·全国·高三专题练习）已知，则正数的大小关系为（    ） A． B． C． D． 7．（2023·山东青岛·统考模拟预测）已知，，，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．（2023·全国·高三专题练习）已知，，则（    ） A． B． C． D． 9．（2023·全国·高三专题练习）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 考点二 不等式的性质及应用 10．（2023·山东枣庄·统考模拟预测）若，，，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2023·全国·高三专题练习）设，则使成立的一个充分不必要条件是（   ） A． B． C． D． 12．（2023·全国·高三专题练习）已知实数满足，则下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 13．【多选】（2023·全国·高三专题练习）已知，则下列不等式恒成立的是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2023·全国·模拟预测）已知实数，