考点06指数函数（7种题型2个易错考点）-【一轮复习讲义】2024年高考数学复习全程规划（新高考地区专用）

考点06指数函数（7种题型2个易错考点） 一、 真题多维细目表 考题 考点 考向 2022·全国·统考高考真题 指数函数的单调性 利用指数函数的单调性比较大小 2022·全国·统考高考真题 导数判断其单调性 利用指数函数的单调性比较大小 二、命题规律与备考策略 方法一：（指对数函数性质） 方法二：【最优解】（构造函数） 方法三：构造法 方法四：比较法 三、 2022真题抢先刷，考向提前知 1．（2022·全国·统考高考真题）已知，则（    ） A． B． C． D． 2．（2022·全国·统考高考真题）设，则（    ） A． B． C． D． 四、考点清单 一．有理数指数幂及根式 【根式与分数指数幂】 规定：＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） ＝＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义 常考题型： 例1：下列计算正确的是（　　） A、（﹣1）0＝﹣1 B、＝a C、＝3 D、＝a（a＞0） 分析：直接由有理指数幂的运算性质化简求值，然后逐一核对四个选项得答案． 解：∵（﹣1）0＝1， ∴A不正确； ∵， ∴B不正确； ∵， ∴C正确； ∵ ∴D不正确． 故选：C． 点评：本题考查了根式与分数指数幂的互化，考查了有理指数幂的运算性质，是基础的计算题． 【有理数指数幂】 （1）幂的有关概念： ①正分数指数幂：＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ②负分数指数幂：＝＝（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． （2）有理数指数幂的性质： ①aras＝ar+s（a＞0，r，s∈Q）； ②（ar）s＝ars（a＞0，r，s∈Q）； ③（ab）r＝arbr（a＞0，b＞0，r∈Q）． 常考题型： 例1：若a＞0，且m，n为整数，则下列各式中正确的是（　　） A、 B、am•an＝am•n C、（am）n＝am+n D、1÷an＝a0﹣n 分析：先由有理数指数幂的运算法则，先分别判断四个备选取答案，从中选取出正确答案． 解：A中，am÷an＝am﹣n，故不成立； B中，am•an＝am+n≠am•n，故不成立； C中，（am）n＝am•n≠am+n，故不成立； D中，1÷an＝a0﹣n，成立． 故选：D． 点评：本题考查有理数指数幂的运算，解题时要熟练掌握基本的运算法则和运算性质． 二．指数函数的定义、解析式、定义域和值域 1、指数函数的定义： 一般地，函数y＝ax（a＞0，且a≠1）叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是R，值域是（0，+∞）． 2、指数函数的解析式： y＝ax（a＞0，且a≠1） 3、理解指数函数定义，需注意的几个问题： ①因为a＞0，x是任意一个实数时，ax是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R． ②规定底数a大于零且不等于1的理由： 如果a＝0，当x＞0时，ax恒等于0；当x≤0时，ax无意义； 如果a＜0，比如y＝（﹣4）x，这时对于x＝，x＝在实数范围内函数值不存在． 如果a＝1，y＝1x＝1是一个常量，对它就没有研究的必要， 为了避免上述各种情况，所以规定a＞0且a≠1． 三．指数函数的图象与性质 1、指数函数y＝ax（a＞0，且a≠1）的图象和性质： y＝ax a＞1 0＜a＜1 图象 定义域 R 值域 （0，+∞） 性质 过定点（0，1） 当x＞0时，y＞1； x＜0时，0＜y＜1 当x＞0时，0＜y＜1； x＜0时，y＞1 在R上是增函数 在R上是减函数 2、底数对指数函数的影响： ①在同一坐标系内分别作函数的图象，易看出：当a＞l时，底数越大，函数图象在第一象限越靠近y轴；同样地，当0＜a＜l时，底数越小，函数图象在第一象限越靠近x轴． ②底数对函数值的影响如图． ③当a＞0，且a≠l时，函数y＝ax 与函数y＝的图象关于y轴对称． 3、利用指数函数的性质比较大小： 若底数相同而指数不同，用指数函数的单调性比较： 若底数不同而指数相同，用作商法比较； 若底数、指数均不同，借助中间量，同时要注意结合图象及特殊值． 四．指数型复合函数的性质及应用 指数型复合函数性质及应用： 指数型复合函数的两个基本类型：y＝f（ax）与y＝af（x） 复合函数的单调性，根据“同增异减”的原则处理 U＝g（x） y＝au y＝ag（x） 增 增 增 减 减 增 增 减 减 减 增 减． 五．指数函数的单调性与特殊点