2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合

2023年中考数学高频考点突破——圆与相似三角形综合 1．已知的直径，点为弧上一点，连接、，点为劣弧上一点（点不与点、重合），连接交、于点、． (1)如图，当时，求； (2)当点为劣弧的中点，且与相似时，求的度数； (3)当，且为直角三角形时，求的长． 2．如图1，在中，为直径，点C在圆上，，，D是上一动点（与点A、B不重合），平分交边于点E，，垂足为点F． (1)当点D与圆心O重合时，如图2所示，则　　； (2)若，试探究与有何面积关系，并证明； (3)当与相似时，求的值． 3．已知：如图．在梯形中．，，，，，点是上一点（点与点不重合），以为半径的与边相交于点和点． (1)如果，求的长； (2)如果，试判断以为直径的与的位置关系； (3)联结，如果和相似，求的长． 4．如图，平面直角坐标系中，，点E为线段的中点，过点E作直线平行于x轴交线段于点D，动点Q从点B出发沿射线以每秒1个单位的速度运动，过点Q作直线垂足为P，过E、P、Q三点作圆，交线段于点N，连接，设点Q运动的时间为t秒． (1)求经过A、B、C三点的抛物线表达式； (2)当与相似时，求t的值； (3)当的外接圆与线段有公共点时，求t的取值范围． 5．如图，在中，，是⊙O的直径，交的延长线于点F．过点D的切线交于点B，连接交⊙O于点M，使，． (1)求证：是⊙O的切线． (2)若，，试求的值． (3)连接，分别延长，交于点N，当为等腰直角三角形时是否存在∽？若存在，请直接写出它们面积的相似比；若不存在，请你用反证法尝试证明． 6．我们把方程称为圆心为（m，n）、半径长为r的圆的标准方程．例如，圆心为、半径长为3的圆的标准方程是． 如图，抛物线经过，两点，直线l为抛物线的对称轴并与x轴交于点C．直线与抛物线分别交于点B，D两点，与直线l交于点E． (1)求抛物线的解析式； (2)若以点A为圆心适当的长为半径画圆，使圆A与直线相切于点F，写出圆A的标准方程，求出点F的坐标；并说明直线l，y轴与圆A的位置关系； (3)在（2）的条件下，在弧（不包括O，F两点）上是否存在点G，使得以点G，O，C为顶点的三角形与相似．若存在，请直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由． 7．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”． (1)如图1，已知在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形是以为“相似对角线”的四边形（画出1个即可）； (2)如图2，圆内接四边形中，，点E是的中点，连结交于点F，连结，， ①求证：是四边形的“相似对角线”； ②若的面积，求线段的长． 8．如图，已知是半圆的直径，过线段上一动点，作交半圆于点 ，联结，过点作，垂足为点，的延长线交半圆于点． (1)求证：； (2)若，设，，求关于的函数关系式； (3)如图2，若连接并延长交的延长线于点，当与相似时，求的值． 9．如图1，D是⊙O的直径BC上的一点，过D作DE⊥BC交⊙O于E、N，F是⊙O上的一点，过F的直线分别与CB、DE的延长线相交于A、P，连结CF交PD于M，∠C＝∠P． （1）求证：PA是⊙O的切线； （2）若∠A＝30°，⊙O的半径为4，DM＝1，求PM的长； （3）如图2，在（2）的条件下，连结BF、BM；在线段DN上有一点H，并且以H、D、C为顶点的三角形与△BFM相似，求DH的长度． 10．已知O是坐标原点，以P(1，1)为圆心的⊙P与x轴、y轴分别相切于点M和点N．点F从点M出发，沿x轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，连结PF，过点P作PE⊥PF交y轴于点E．设点F运动的时间是t秒（t>0）． （1）求点E的坐标（用t表示）； （2）在点F运动过程中，当PF=2OE时，求t的值． （3）当t>1时，作点F关于点M的对称点F′．点Q是线段MF′的中点，连结QE．在点F运动过程中，是否存在某一时刻，使得△QOE与△PMF相似，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 11．已知：直角梯形中，，∠=，以为直径的圆交于点、，连接、、． (1)在不添加其他字母和线的前提下，直接写出图1中的两对相似三角形： _____________________，______________________ ； (2)直角梯形中，以为坐标原点，在轴正半轴上建立直角坐标系（如图2），若抛物线经过点、、，且为抛物线的顶点． ①写出顶点的坐标（用含的代数式表示）___________； ②求抛物线的解析式； ③在轴下方的抛物线上是否存在这样的点，过点作⊥轴于点，使得以点、A、为顶点的三角形与△相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由． 12．抛物线交x轴于A、B两点，交y轴于点C，顶点