2023年浙江省杭州市中考数学专题复习讲义：同类题型三----正方形中半角模型的问题

2023年杭州中考专题复习同类题型三：正方形中半角模型的问题 例：如图，正方形ABCD边长为4，点O在对角线DB上运动（不与点B，D重合），连结OA，作，交直线BC于点P． （1）判断线段OA，OP的数量关系，并说明理由； （2）当时，求CP的长； （3）设线段DO，OP，PC，CD围成的图形面积为，的面积为，求的最值． 变式： 1.边长为a的正方形ABCD中，点E是BD上一点，过点E作EF⊥AE交射线CB于点F，连结CE． （1）若点F在边BC上（如图）； ①求证：CE＝EF； ②若BC＝2BF，求DE的长． （2）若点F在CB延长线上，BC＝2BF，请直接写出DE的长． 2.如图，已知正方形ABCD的边长为，连接AC、BD交于点O，CE平分∠ACD交BD于点E， （1）求DE的长； （2）过点EF作EF⊥CE，交AB于点F，求BF的长； （3）过点E作EG⊥CE，交CD于点G，求DG的长． 3.在正方形ABCD中，AD＝4，点E在对角线AC上运动，连接DE，过点E作EF⊥ED，交直线AB于点F（点F不与点A重合），连接DF，设CE＝x，tan∠ADF＝y，则x和y之间的关系是　 　（用含x的代数式表示）． 4.四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG． （1）如图1，求证：矩形DEFG是正方形； （2）若AB＝2，CE＝，求CG的长度； （3）当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数． 5.如图，已知正方形ABCD，P是对角线AC上任意一点，E为AD上的点，且∠EPB＝90°，PM⊥AD，PN⊥AB． （1）求证：四边形PMAN是正方形； （2）求证：EM＝BN． 6.如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE＝PB． （1）连结PD、DE，求证：△PDE为等腰直角三角形； （2）设AP＝x，△PBE的面积为y．求y与x的函数表达式及自变量的取值范围； （3）试问P在何处时△PBE的面积大于？ 7.已知：正方形ABCD中，AB＝4，E为CD边中点，F为AD边中点，AE交BD于G，交BF于H，连接DH． （1）求证：BG＝2DG； （2）求AH：HG：GE的值； （3）求的值． 8.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，动点P从点A出发，以每秒2个单位的速度，沿线段AB方向匀速运动，到达点B停止．连接DP交AC于点E，以DP为直径作⊙O交AC于点F，连接DF、PF． （1）求证：△DPF为等腰直角三角形； （2）若点P的运动时间t秒． ①当t为何值时，点E恰好为AC的一个三等分点； ②将△EFP沿PF翻折，得到△QFP，当点Q恰好落在BC上时，求t的值． 9.如图，正方形ABCD中，G是对角线BD上一个动点，连结AG，过G作GE⊥CD，GF⊥BC，E、F分别为垂足 （1）求证：GE+GF＝AB； （2）①写出GE、GF、AG三条线段满足的等量关系，并证明； ②求当AB＝6，AG＝时，BG的长． 10.矩形ABCD中，点P在对角线BD上（点P不与点B重合），连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BC于点E． （1）如图1，当AB＝BC时，猜想线段PA和PE的数量关系：　 　； （2）如图2，当AB≠BC时．求证： （3）若AB＝8，BC＝10，以AP，PE为边作矩形APEF，连接BF，当PE＝时，直接写出线段BF的长． 11.如图，在正方形ABCD中，点E，F分别在BC，AB上，且DE＝DF，连结AC，分别交DE，DF于点M，N． （1）求证：△ADF≌△CDE； （2）设△DMN和△AFN的面积分别为S1和S2； ①若∠ADF＝∠EDF，求S2：S1的值． ②若S2＝2S1，求tan∠ADF． 12.在正方形ABCD中，E是△ABD内的点，EB＝EC． （1）如图1，若EB＝BC，求∠EBD的度数； （2）如图2，EC与BD交于点F，连接AE，若S四边形ABFE＝a，试探究线段FC与BE之间的数量关系，并说明理由． 13.如图1，在正方形ABCD中，G为线段BD上一点，连接AG，过G作AG⊥GE交BC于E，连接AE． （1）求证：BG＝DG+BE； （2）如图2，AB＝4，E为BC中点，P，Q分别为线段AB，AE上的动点，满足QE＝AP，则在P，Q运动过程中，当以PQ为对角线的正方形PRQS的一边恰好落在△ABE的某一边上时，直接写出正方形PRQS的面积． 14.如图1，正方形ABCD中，点O是对角线AC的中点，点P是线段AO上（不与点A，O重合）的一个动点，过点P作PE⊥PB且PE交边CD于点E． （1）求证：PE＝