2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与相似三角形 1．如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点. （1）求点，，的坐标； （2）将绕的中点旋转，得到. ①求点的坐标； ②判断的形状，并说明理由. （3）在该抛物线对称轴上是否存在点，使与相似，若存在，请写出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由. 2．如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于点，点，与轴相交于点，与抛物线的对称轴相交于点. （1）求该抛物线的表达式，并直接写出点的坐标； （2）过点作交抛物线于点，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，点在射线上，若与相似，求点的坐标. 3．如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B． （1）点D的坐标是　 ； （2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似． ①当n时，求DP的长； ②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　． 4．如图，将抛物线平移后，新抛物线经过原抛物线的顶点，新抛物线与轴正半轴交于点，联结，，设新抛物线与轴的另一交点是，新抛物线的顶点是. （1）求点的坐标； （2）设点在新抛物线上，联结，如果平分，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，将抛物线沿轴左右平移，点的对应点为，当和相似时，请直接写出平移后得到抛物线的表达式. 5．如图，已知一次函数y＝kx+b的图象经过A（﹣1，﹣5），B（0，﹣4）两点且与x轴交于点C，二次函数y＝ax2+bx+4的图象经过点A、点C． （1）求一次函数和二次函数的函数表达式； （2）连接OA，求∠OAB的正弦值； （3）若点D在x轴的正半轴上，是否存在以点D，C，B构成的三角形与△OAB相似？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，在平面直角坐标系中，已知二次函数图象经过点，，其对称轴为直线． (1)求该二次函数的解析式； (2)若直线将的面积分成相等的两部分，求的值； (3)点是该二次函数图象与轴的另一个交点，点是直线上位于轴下方的动点，点是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线右侧．若以点为直角顶点的与相似，求点的坐标． 7．如图，二次函数图象的顶点为，对称轴是直线，一次函数的图象与轴交于点，且与直线关于的对称直线交于点． （1）点的坐标是 ______； （2）直线与直线交于点，是线段上一点（不与点、重合），点的纵坐标为．过点作直线与线段、分别交于点，，使得与相似． ①当时，求的长； ②若对于每一个确定的的值，有且只有一个与相似，请直接写出的取值范围 ______． 8．如图1，以点A（-1，2）、C（1，0）为顶点作Rt△ABC，且∠ACB=90°，tanA=3，点B位于第三象限 （1）求点B的坐标； （2）以A为顶点，且过点C的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）是否经过点B，并说明理由； （3）在（2）的条件下（如图2），AB交x轴于点D，点E为直线AB上方抛物线上一动点，过点E作EF⊥BC于F，直线FF分别交y轴、AB于点G、H，若以点B、G、H为顶点的三角形与△ADC相似，求点E的坐标． 9．已知直线y=kx+6（k＜0）分别交x轴、y轴于A、B两点，线段OA上有一动点P由原点O向点A运动，速度为每秒2个单位长度，过点P作x轴的垂线交直线AB于点C，设运动时间为t秒． （1）当k=-1时，线段OA上另有一动点Q由点A向点O运动，它与点P以相同速度同时出发，当点P到达点A时两点同时停止运动（如图1）． ①直接写出t=1秒时C、Q两点的坐标； ②若以Q、C、A为顶点的三角形与△AOB相似，求t的值． （2）当k=-时，设以C为顶点的抛物线y=（x+m）2+n与直线AB的另一交点为D（如图2），①求CD的长； ②设△COD的OC边上的高为h，当t为何值时，h的值最大？ 10．已知抛物线与x轴分别交于，两点，与y轴交于点C． （1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标； （2）点F是线段AD上一个动点． ①如图1，设，当k为何值时，. ②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由． 11．如图1，抛物线：与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1，0），点O为坐标原点，OC=3OA，抛物线的顶点为G． （1）求出抛物线的解析式，并写出点G的坐标； （2）如图2，将抛物线向下平移k（k＞0）个单位，得到抛物线，设与x轴的交点为、，顶点为，当△是等边三角形时，求k的值： （3）在（2）的条件下，如图3，设点M为x轴