2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明

2023年中考数学专题训练——圆的切线的证明 1．如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D＝30°， （1）求证：CD是⊙O的切线． （2）若半径AO为6，求AC的长． 2．如图，以△ABC的边AB为直径画⊙O，交AC于点D，半径OEBD，连接BE，DE，BD，若BE交AC于点F，若∠DEB=∠DBC． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）若BF=BC=2，求AB的长． 3．如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，OC交AB于点P，交⊙O于点D，且CP＝CB． （1）判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若∠A＝30°，OP＝，求图中阴影部分的面积． 4．如图，已知AB是的直径，，点P在BA的延长线上，交于点D．交EB于点C，连接AE． （1）求证：PD切于点D； （2）连结OC，如果，，求OC的长． 5．如图所示，是的切线，为切点，直线交于点，是的直径，弦，交于点，连接． （1）判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）已知，，求弦和劣弧所围成弓形的周长和面积． 6．如图，在中，点O在边上，经过A、C两点，与边交于点D，若． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长度． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．（1）见解析；（2） 【分析】（1）如图所示，连结OC，由AC=CD，得到∠A=∠D=30° ，由OA＝OC，得到∠A＝∠OCA=30°，则由三角形外角的性质得到∠COD＝∠A+∠OCA＝60°，则∠OCD＝180°－（60°＋30°）＝90°，由此即可证明； （2）利用勾股定理和含30度角的直角三角形的性质求解即可． 【解析】解：（1）如图所示，连结OC， ∵AC=CD， ∴∠A=∠D=30° ， 又∵OA＝OC， ∴∠A＝∠OCA=30°， ∴∠COD＝∠A+∠OCA＝60°， ∴∠OCD＝180°－（60°＋30°）＝90°， 又∵OC是圆O的半径， ∴CD是⊙O的切线． （2）在Rt△OCD中，∠OCD=90°，∠D=30°， ∴OD=2OC=2OA=12，   ∴． 【点评】本题主要考查了切线的判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握切线的判定条件是解题的关键． 2．（1）见解析；（2） 【分析】（1）根据圆周角定理以及角之间的关系，得到，即可求证； （2）连接OD，根据平行线和等腰三角形的性质求得，再根据含直角三角形的性质和勾股定理，求解即可． 【解析】（1）证明： ∵AB是直径 ∴∠ADB=90°， ∴∠A+∠ABD=90°， ∵∠A=∠DEB，∠DEB=∠DBC ∴∠A=∠DBC ∴∠DBC+∠ABD=∠ABC=90°， ∴BC是⊙O的切线， （2）解：如图，连接OD ∵BF=BC=2，∠ADB=90°， ∴∠CBD=∠FBD ∵OE∥BD， ∴∠FBD=∠OEB ∵OE=OB ∴∠OEB=∠OBE ∴∠CBD=∠FBD=∠OBE=∠ABC=30°， ∴∠C=60°，∠OBD=60°， ∴AC=2BC=4， ∴， 【点评】此题考查了圆切线的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理以及含直角三角形的性质，解题的关键是灵活运用相关性质进行求解． 3．（1）相切，理由见解析；（2）． 【分析】（1）连接，先根据等腰三角形的性质可得，从而可得，再根据直角三角形的性质可得，然后根据圆的切线的判定定理即可得出结论； （2）先根据直角三角形的性质、勾股定理可得，再根据三角形的内角和定理可得，然后在中，利用勾股定理可得，最后根据阴影部分的面积等于的面积减去扇形的面积即可得． 【解析】解：（1）直线与的位置关系是相切，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， 又∵是的半径， ∴直线与的位置关系是相切； （2）∵， ∴， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则图中阴影部分的面积为． 【点评】本题考查了含角的直角三角形的性质、圆的切线的判定定理、扇形的面积公式等知识点，熟练掌握圆的切线的判定定理和扇形的面积公式是解题关键． 4．（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）连接OD，根据AB为的直径，得出∠ADB=90°，由根据等腰三角形三线合一性质可得AD=ED，可证OD为△ABE的中位线，可得OD∥BE，根据，可得PC⊥OD即可； （2）在Rt△PDO中，∠P=30°，利用30°正切三角函数求出OD，再求PB= 6，根据锐角三角函数PC=PBcos30°=，求出DC=，再利用勾股定理求解即可． 【解析】（1）证明：连结，DB， ∵AB为的直