2023年中考数学专题训练——二次函数与最值

2023年中考数学专题训练——二次函数与最值 1．在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，（点在点的左侧），与轴交于点，且点的坐标为． (1)求点的坐标； (2)如图1，若点是第二象限内抛物线上一动点，求三角形面积的最大值； (3)如图2，若点是抛物线上一点，点是抛物线对称轴上一点，是否存在点使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 2．如图，抛物线（、为常数）的对称轴为直线，图像与轴交于和点，与轴的正半轴交于点，过点的直线与轴交于点． (1)求抛物线的表达式，并直接写出点的坐标； (2)若点为第一象限内抛物线上一动点，连接和，求出面积的最大值； (3)若点是抛物线上一动点，过点作于点，轴交直线于点，当时，请求出点的坐标． 3．如图1，二次函数的图像交轴于点、，交轴于点，连接、，点为射线上的动点． (1)求点、的坐标； (2)若点在线段上，过点作轴的垂线交抛物线于点，交于点，当最大时，求点的坐标； (3)如图2，点为射线上的一点，且： ①连接、，当为直角三角形时，求点的坐标； ②如图3，连接、，直接写出的最大值． 4．如图，抛物线与x轴交于两点（在的左边），与y轴交于C，；双曲线经过抛物线的顶点，点的横坐标为1． (1)求抛物线和双曲线的解析式． (2)点P为抛物线上一动点，且在第一象限，连接，求当四边形取得最大值时，点P的坐标，并求出这个最大值． (3)若在此抛物线和双曲线上存在点Q，使得，请求出点Q的坐标． 5．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，且与轴交于另一点（点在点右侧）． (1)求抛物线的解析式； (2)若点是线段上一动点，过点的直线平行轴交轴于点，交抛物线于点，求面积的最大值及此时点的坐标； (3)在（2）的条件下：当的面积取得最大值时，在轴上是否存在这样的点，使得以点，，为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请直接写出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，、是平面直角坐标系中两点，其中m为常数，且，为轴上一动点，以为边在轴上方作矩形，使， 画射线， 把绕点C逆时针旋转得，连接，抛物线（）过E两点． (1)填空： ____________， 用 表示点的坐标：___________． (2)当抛物线的顶点为，抛物线与线段交于点P，且与矩形的面积相等时，求m与n的关系式； (3)若E与原点重合，抛物线与射线的另一个交点为M，过M作垂直轴，垂足为N： ①求满足的关系式； ②当m为定值，抛物线与四边形有公共点，线段的最大值为5，请你直接写出a的取值范围． 7．抛物线与轴交于、两点．与轴交于点、点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式． (2)如图1，连接、，点在对称轴左侧的抛物线上，若，求点的坐标． (3)如图2，过点的直线，点是直线上方抛物线上一动点，过点作，垂足为点，连接，，，．当四边形的面积最大时，求点的坐标及四边形面积的最大值． 8．如图1，直线交轴于点，交轴于点，过、两点的抛物线与轴的另一交点为． (1)请直接写出该抛物线的函数解析式； (2)点是第二象限抛物线上一点，设点横坐标为． ①如图2，连接，，，求面积的最大值； ②如图3，连接，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，过点作轴交直线于．求线段的最大值及此时点的坐标． 9．如图，已知抛物线的顶点坐标为Q，且与轴交C，与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），点P是抛物线上的一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作直线于点D． (1)求该抛物线的解析式及A，B两点的坐标； (2)求点P在运动的过程中，线段PD的最大值； (3)若点P与点Q重合，点E在轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A，P，E，F为顶点的平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由． 10．已知：如图，抛物线与坐标轴分别交于点，，，点P是线段上方抛物线上的一个动点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点P运动到什么位置时，的面积有最大值，面积最大值是多少？ (3)已知抛物线的顶点为点D．点M是x轴上的一个动点，当点M的坐标为多少时，的周长最小？最小值是多少？ 11．如图，抛物线与x轴相交于点A、B，与y轴相交于点C，其中，． (1)求该抛物线的函数表达式； (2)点P（m，n）（0＜m＜6）在抛物线上，当m取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值； (3)在（2）中△PBC面积取最大值的条件下，点M是抛物线的对称轴上一点，在抛物线上确定一点N，使得以A、P、M、N为顶点的四边形是平行四边形，写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知A点坐标为（-4，0），C点坐标为（0，2），抛物线y=ax2+bx+c的对称轴