2023年中考数学专题训练——圆的综合

2023年中考数学专题训练——圆的综合 1．如图，⊙与边长为的等边的边、分别交于点、点，是直径，过点作于点． (1)求证：是⊙的切线； (2)连接，当是⊙的切线时，求⊙的半径． 2．如图，在中，，点是的中点，以为直径的交于点，连接． (1)求证：是的切线； (2)若，，求阴影部分的面积． 3．如图，是半圆O的直径，是弦，在上截取，于E，连接． (1)求证：． (2)若，，求的长． 4．如图，在中，以边为直径作分别交，于点D，E，点D是中点，连接，． (1)求证：是等腰三角形． (2)若，，求的长和扇形的面积． 5．如图，A、B是上的两个点，连接、点C，D是、上靠近圆心O的三等分点，点E、F是的三等分点，连接，， (1)求证： (2)连接，，请你判断，的位置关系，并说明理由． 6．如图，在中，，点D是边的中点，点O在边上，经过点C且与边相切于点E，． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径． 7．如图，的直径垂直于弦，垂足为E，． (1)求的半径长； (2)连接 ，作于点F，求的长． 8．如图，在中，是直径，是弦，的平分线交于点C，过点C作，交的延长线于点E． (1)求证：是的切线； (2)若D是弧的中点，．求的长． 9．如图，已知的边是的切线，切点为E，经过圆心O并与圆相交于点F，交于D，连接，，，且． (1)求证：； (2)若，，求及的半径长． 10．如图，圆中延长弦，交于点，连接． (1)若，，求的度数； (2)若，，，判断，，满足什么数量关系时，？请说明理由． 11．如图，是的直径，为的弦，，与的延长线交于点P，过B点的直线交于点C，且． (1)求证：BC为⊙O的切线； (2)若，，则线段的长为　 　． 12．如图，是的直径，是的弦，与交于点E，，延长至F，连接，使得． (1)求证：是的切线； (2)已知，，求的半径长． 13．如图，内接于，是的直径，，垂足为D． (1)求证：； (2)已知的半径为5，，求长． 14．如图，是⊙的直径，点是弧中点，连接，于点，延长，交于点，连接，并延长交于点． (1)求证：是⊙的切线． (2)若，，求． 15．如图，内接于半圆，是直径，过A作直线，，D是弧的中点，连接交于G，过D作于E，交于F． (1)求证：是半圆的切线． (2)求证：． 16．如图，与的边相交于点，与相切于点、与边交于点，，是的直径． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的半径长． 17．如图，四边形是的内接四边形，且对角线为的直径，过点A作，与的延长线交于点E，且平分． (1)求证：是的切线； (2)若的半径为5，，求的长． 18．如图，在中，，以为直径的与相交于点，在上取一点，使得． (1)求证：是的切线； (2)当，，时，求阴影部分面积． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 参考答案： 1．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，根据已知条件，可得到是等边三角形，利用，可得到，由此得到，即可求证； （2）利用（1）中得到的结论以及直角三角形的性质“直角三角形中角所对的直角边是斜边的一半”，用含有和的式子表示出的长，即：；同时用含有和的式子表示出的长，即：，再根据上述直角三角形的性质，利用列出等式即可求得． 【解析】（1）证明：如图所示，连接，可得， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 即是⊙的切线． （2）由（1）知， ， ，， ， ， ； ， ； 是⊙的切线， ， ， ， ， 即， 解得． 因此，当是⊙的切线时，⊙的半径． 【点评】本题考查了圆的切线的判定和性质、等边三角形的性质、特殊直角三角形的性质等知识点，熟练掌握圆的切线的判定和性质，灵活运用已知条件、等边三角形及直角三角形的性质得到与的关系是解这道题的关键． 2．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，，根据圆的性质可知，又因为点是的中点，，，因为，，根据角度等量代换可知，即可求解； （2）由图形可知：，通过圆的性质求出扇形的面积，利用中线的性质和的面积求出的面积，即可求解． 【解析】（1）证明：如图，连接、， ∵是的直径， ∴， 又∵为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是的切线． （2）解：由（1）知：， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴是中线，， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴阴影部分的面积为． 【点评】本题考查圆的综合性质，切线的判定，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，角所对的直角边等于斜边的一半，等边对等角，勾股定理，中线的性质，扇形的面积等知识．熟练掌握圆的综合性质，将不规则的阴影面积用规则面积表达出来是解题的关键． 3．(1)见解析 (2)． 【分析】（1）先证明，由圆周角定理得到，由三角形内角和