6.4.1 用向量法研究三角形的性质 课件——2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

　用向量法研究三角形的性质 数学探究 【预备知识】 平面向量的基本性质： 【预备知识】 三角形的“四心”的概念及性质： (1)三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心. (2)三角形的内心：三角形的三条角平分线相交于一点,这个交点叫做三角形的内心，也是三角形内切圆的圆心. (3)三角形的垂心：三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心. (4)三角形的外心：三角形的三条中垂线相交于一点,这个交点叫做三角形的外心，也是三角形外接圆的圆心. 【合作探究】 已知：三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心”,试证明:三角形的三条中线相交于一点. 解:如图,在△ABC中,D,E,F分别是BC,CA,AB的中点，设BE，CF交于一点O，连接AO,OD,试用向量法证明A,O,D三点共线. 等价转化:三角形的两条中线必交于一点，只需证第三条中线是否经过这一点. 证明: 【合作探究】 已知：三角形的三条中线相交于一点,这个交点叫做三角形的重心”,试证明:三角形的三条中线相交于一点. 总结： （1） 即三角形的重心分每条中线为1：2的两条线段 （2） 【向量法研究三角形的性质】 求解过程的“三步曲”: （1）形到向量：建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面问题转化为向量问题； （2）向量的运算：通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题； （3）向量和数到形：把运算结果“翻译”成几何关系. 三部曲：形到向量-----向量的运算------向量和数到形 【例1】 “三角形三边的角平分线相交于一点,这个交点也是三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心”,试证明:三角形三边的角平分线相交于一点. 【微探究1】 解: 【例1】 “三角形三边的角平分线相交于一点,这个交点也是三角形内切圆的圆心,叫做三角形的内心”,试证明:三角形三边的角平分线相交于一点. 【微探究1】 总结： 【思考】 【例2】 我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点. 解:如图,在△ABC中,AD⊥BC,BE⊥AC,垂足分别为D,E,设AD,BE相交于一点I,连接CI并延长交AB于一点F,试用向量法证明CF⊥AB. 【微探究2】 证法二:以D为原点,BC,AD所在直线分别为x轴,y轴建立平面直角坐标系,如图. 【例2】 我们知道“三角形的三条高线相交于一点,这个交点叫做三角形的垂心”,试证明:三角形的三条高线相交于一点. 【微探究2】 总结： 【例3】 “三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个交点也是三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心”,试证明:三角形三边的垂直平分线相交于一点. 【微探究3】 解:如图,在△ABC中,D,E,F分别为边BC,AC,AB的中点, 且OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E,试证明:OF⊥AB. 证明:如图,因为D为边BC的中点, 【例3】 “三角形三边的垂直平分线相交于一点,这个交点也是三角形外接圆的圆心,叫做三角形的外心”,试证明:三角形三边的垂直平分线相交于一点. 【微探究3】 总结： （1）向量与共线的充要条件是存在唯一实数，使得 （2）若向量与是平面内一组基底， 恒有. 取, 则+=+;+=+; 所以-+)-2(+) =-2(. 又=，所以由平面向量基本定理，得 所以 因此-+=+, 又=-==()+=(). 所以,即A,O,D三点共线，“三角形中线交于一点”成立 “点O是△ABC的重心”是“”的充要条件，这是三角形重心的向量表示形式. （1）“点O是△ABC的重心” “” （2）“点O是△ABC的内心” “” （3）“点O是△ABC的外心” “” （4）“点O是△ABC的垂心”“” 证法一:因为AD⊥BC,BE⊥AC, 所以, 即·()==0, 所以.同理,. 所以,即=0, 所以·()==0, 所以IC⊥AB,即CF⊥AB. 设A(0,a),B(b,0),C(c,0),I(0,y). 则=(c,-a),. 因为BE⊥AC, 所以=-bc-ay=0, 即y=-. 所以=bc+ay=bc+a=0. 所以IC⊥AB,即CF⊥AB. 所以 +)=), 因为OD⊥BC, 所以)·()=)=0, 即||=||.同理,||=||, 所以||=||. 又因为F为边AB的中点, 所以), 所以)·()=)=0. 即OF⊥AB. $