补充：数列求和讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 补充：数列求和 1.倒序相加. 2.错位相减. 3.裂项相消. 4.分组求和. 5.绝对值求和. 1.倒序相加 例1. 已知为等比数列，且，若 ，求的值． 【变式1-1】 已知函数，，正项等比数 列满足，则值是多少？. 【变式1-2】 已知正数数列是公比不等于1的等比数 列，且，试用推导等差数列前项和的方法探求：若，则（    ） A．2018 B．4036 C．2019 D．4038 【变式1-3】 已知函数，数列 满足，则（    ） A．2018 B．2019 C．4036 D．4038 【变式1-4】 已知函数，数列为等比数 列，，，则______． 2.错位相减 例2. 已知数列的前项和为，，且 ． (1)求的通项公式； (2)设数列满足，求的前项和． 【变式2-1】 设数列的前项和为且 . (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和 【变式2-2】 已知等差数列的前项和为，且 ，， (1)求数列的通项公式； (2)若，令，求数列的前项和 【变式2-3】 在数列中，，且. (1)证明：是等比数列. (2)求数列的前项和. 【变式2-4】 已知等差数列的前n项和为，且 ，． (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 3.裂项相消 例3. 在数列中，，， 则数列前5项和（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】 已知各项为正数的数列的前项和为 ，若. (1)求数列的通项公式； (2)设，且数列的前项和为，求证：． 【变式3-2】 已知数列为等差数列，数列满足 ，且． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式3-3】 已知正项数列，其前项和满足 . (1)求的通项公式； (2)证明：. 【变式3-4】 已知是数列的前项和，，且 ． (1)求的通项公式； (2)证明：． 【变式3-5】 已知数列，满足，且 ． (1)若数列为等比数列，公比为q，，求的通项公式； (2)若数列为等差数列，，求的前项和． 例4. 已知是等差数列的前项和，且 ，. (1)求； (2)若，求数列的前项和. 【变式4-1】 已知正项数列的前项和满足 ． (1)求数列的通项公式； (2)令，求证：数列的前项和． 【变式4-2】 已知为等差数列，. (1)求的通项公式； (2)若为的前项和，求. 例5. 已知等比数列的前项和为，且对， 恒成立，，． (1)求数列的通项公式及前项和； (2)设，求证：． 【变式5-1】 已知数列中,, ． (1)求证:是等比数列,并求的通项公式; (2)设求数列的前项的和． 【变式5-2】 已知数列满足. (1)计算，并求出数列的通项公式； (2)设，为数列的前项和，求证：. 【变式5-3】 已知数列中，，， .设. (1)证明：数列是等比数列； (2)设数列的前项的和为，求. (3)设，设数列的前项和，求证：. 4.分组求和 例6. 已知数列满足． (1)判断数列是否为等比数列； (2)数列的前项和为，当时，求数列的前项和． 【变式6-1】 已知为数列的前项和，且 ． (1)求数列的通项公式； (2)若，的前项和为，求． 【变式6-2】 已知等差数列的前项和为，不等式 的解集为. (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 【变式6-3】 已知公差不为零的等差数列的前项和为 ，且满足，，，成等比数列，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 例7. 在数列中，，.记 是数列的前项和，则______. 【变式7-1】 已知数列的各项均为正数的等比数列， ，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前项和． 【变式7-2】 在数列中，， ．记是数列的前项和，则______． 【变式7-3】 已知数列的首项为0，且 ，数列的首项，且对任意正整数恒有. (1)求和的通项公式； (2)对任意的正整数n，设，求数列的前项和S2n. 【变式7-4】 设为数列的前项和，已知， 且，，成等差数列． (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前20项和． 5.绝对值求和 例8. 已知数列的前项和为，数列是以 为首项，为公差的等差数列. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前项和. 【变式8-1】 数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前项和. 【变式8-2】 已知正项等比数列满足且 是的等差中项，数列满足． (1)求数列，的通项公式； (2)求数列的前项和． 课后练习 1. 已知函数，等差数列满足，则__________． 2. 已知函数，数列是正项等比数列，且，则__________． 3