4.4数学归纳法讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.4数学归纳法 1.数学归纳法步骤：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”. 2.用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么①对任何都成立. 证明：（1）当时，左边，①式成立.（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是 ，当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 1. 用数学归纳法证明：（为正整数）． 2. 已知数列满足 (1)求出项，并由此猜想的通项公式 (2)用数学归纳法证明的通项公式 3. 已知数列满足：，点在直线上． （1）求的值，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想． 4. 设正项数列的首项为4，满足． (1)求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 5. 已知数列的前项和，满足，且． （1）求； （2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明． 6. 已知数列的前项和为，其中且. （1）求； （2）猜想数列的通项公式，并证明． 7. 设数列满足． (1)求的值并猜测通项公式； (2)证明上述猜想的通项公式． 8. 设数列的前项和为，且. (1)计算，并猜想； (2)用数学归纳法证明你的猜想. 9. 已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明． 10. 已知数列满足，且. (1)求出的值，猜想数列的通项公式，并给出证明； (2)设数列的前项和为，且，求数列的前项和. 11. 在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论． 12. 数列中，表示前项和，且成等差数列． （1）计算的值； （2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 13. 已知数列满足. (1)写出，并推测的表达式； (2)用数学归纳法证明所得的结论． 14. 已知数列满足，前项和． (1)求的值并猜想的表达式； (2)用数学归纳法证明（1）的猜想． 15. 已知数列的前项和为，其中 且. (1)试求：的值，并猜想数列的通项公式； (2)用数学归纳法加以证明. 16. 请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题： ① ② 已知数列的前项和为，且，_______. (1)求； (2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明. $ 第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.4数学归纳法 1.数学归纳法步骤：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”. 2.用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么①对任何都成立. 证明：（1）当时，左边，①式成立.（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是 ，当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立. 1. 用数学归纳法证明：（为正整数）． 【答案】证明见解析 【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立， 即， 那么当时， ． 故当时，等式也成立． 综上可知等式对任意正整数n都成立． 2. 已知数列满足 (1)求出项，并由此猜想的通项公式 (2)用数学归纳法证明的通项公式 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）依题意， 所以， 由此猜想. （2）当时，，成立. 假设当时成立，即成立. 则当时，，成立. 综上所述，对任意正整数都成立. 3. 已知数列满足：，点在直线上． （1）求的值，并猜想数列的通项公式； （2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想． 【答案】（1），，；；（2）证明见解析. 【详解】(1)点在直线上可知，数列满足： ， ，．可猜得． (2)当时，成立， 假设当时，成立， 则当时，成立， 就是说，猜想正确； 综上，． 4. 设正项数列的首项为4，满足． (1)求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式； (2)用数学归纳法证明你的猜想． 【答案】(1)，； (2)见解析 【详解】(1) 由可得，又，则，， 则，猜想； (2) 由（1）得，当时，， ①当时，猜想显然成立； ②假设当时成立，即； 当时，，猜想成立， 由①②知猜想恒成立，即. 5. 已知数列的前项和，满足，且． （1）求； （2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明． 【答案】（1），，；（2）猜想，，证 明见解析． 【详解】（1）对任意的，，且． 当时，，整理得，且，所以； 当时，，整理得，且，所以； 当时，，整理得，且，所以； （2）由（1）猜想，， 下面用数学归纳法