4.3等比数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.3等比数列 1.一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示（显然）. 2.如果在与中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做与的等比中项.此时. 3.首项为，公比为的等比数列的通项公式为. 4.由可知，当且时，等比数列的第项是指数函数当时的函数值，即.反之，任给指数函数，则构成一个等比数列，其首项为，公比为. 5.在等比数列中，若，则. 6.等比数列的前项和公式：，因为，所以求和公式还可写成. 7.等比数列的前项和为，则也成等比数列. 1.通项公式基本运算 例1. 在等比数列中，，，则 （    ） A．2 B．±2 C．2或 D． 【变式1-1】 正项等比数列满足，，则其 通项公式（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 在等比数列中，， ，则公比的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式1-3】 在等比数列中，，则 （    ） A．4 B．8 C．16 D．32 【变式1-4】 设是等比数列，且， ，则=（    ） A．24 B．48 C．32 D．64 【变式1-5】 已知等比数列的前3项和为 ，则（    ） A．24 B．12 C．6 D．3 2.等比中项（角标性质） 例2. 已知是4与6的等差中项，是与的等比 中项，则（    ） A．13 B． C．3或 D．或13 【变式2-1】 设为实数，若三个数成等比数 列，则公比为（    ） A． B．2 C． D．4 【变式2-2】 已知公差不为0的等差数列的第2，3，6项依 次构成一个等比数列，则该等比数列的公比是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2-3】 已知是公差不为零的等差数列， ，且成等比数列，若，则（    ） A．568 B．566 C．675 D．696 【变式2-4】 等差数列的首项为1，公差不为0.若， ，成等比数列，则的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式2-5】 正项等比数列中，是与的等 差中项，若，则（    ） A．4 B．8 C．32 D．64 【变式2-6】 由正数组成的等比数列中，若 ，则__________． 【变式2-7】 已知等比数列满足，， （其中，），则的最小值为（    ） A．6 B．16 C． D．2 例3. 已知正项等比数列，满足，则 （    ） A． B． C． D． 【变式3-1】 在等比数列中，若，是方程 的根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【变式3-2】 已知等比数列的各项均为正数，且 ，则______． 【变式3-3】 在正项等比数列中，，则 ______． 【变式3-4】 等比数列是递减数列，前项的积为 ，若，则________． 3.求和公式基本运算 例4. 已知是各项均为正数的等比数列的前n项 和，若，，则（    ） A．2 B．3 C．6 D．9 【变式4-1】 在等比数列中，为其前项和，且 ，则它的公比的值为（    ） A．1 B． C．1或 D．1或 【变式4-2】 已知各项均为正数的等比数列的前项和 为，若，则的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4-3】 设等比数列的前项和为，若 ，则公比（    ） A．4 B． C．2 D． 【变式4-4】 已知为等比数列的前n项和，若 ，，则（    ） A．15 B． C． D． 【变式4-5】 已知一个项数为偶数的等比数列，所有项 之和为所有奇数项之和的3倍，前4项之积为64，则（    ） A．1 B． C．2 D．1或 4.求和性质运用 例5. 记为等比数列的前项和.若， ，则（    ） A． B．8 C．7 D． 【变式5-1】 记为等比数列的前项和．若 ，，则等于（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【变式5-2】 设等比数列的前项和为，公比 ，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】 已知各项为正的等比数列的前5项和为3，前 15项和为39，则该数列的前10项和为（    ） A． B． C．12 D．15 【变式5-4】 等比数列的前项和为，已知 ，，则（    ） A． B． C． D． 5.构造等比数列 例6. 已知数列满足，且 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】 已知数列满足 ，则（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】 已