4.2等差数列讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.2等差数列 1.如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示. 2.由三个数组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列，这时，叫做与的等差中项.根据等差数列的定义可以知道，. 3.就是等差数列的递推公式，归纳可得首项为，公差为的等差数列的通项公式为. 4.由于，所以当时，等差数列的第项是一次函数当时的函数值，即.反之，任给一次函数，则构成一个等差数列，其首项为，公差为. 5.在等差数列中，若，则. 6.等差数列的前项和. 7.等差数列的前项和公式可写成，所以当时，可以看成二次函数当时的函数值.可以利用二次函数求相应的的值. 1.通项公式基本运算 例1. 已知为等差数列，若，，则 的公差为（    ） A．1 B． C． D． 【变式1-1】 已知数列为等差数列，， ，则（    ） A．9 B．11 C．13 D．15 【变式1-2】 已知公差不为零的等差数列满足： ，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 在等差数列中，，，若 ，则正整数（    ）． A．10 B．11 C．12 D．13 【变式1-4】 已知等差数列中，， ，则的公差为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-5】 在递增的等差数列中，己知与是方 程的两个根，则（    ） A．19 B．20 C．21 D．22 【变式1-6】 已知是等差数列，且，则 （    ） A．1 B．3 C．5 D．7 2.等差中项（角标性质） 例2. 等差数列中，已知，，则 （    ）． A．2 B．14 C．12 D．8 【变式2-1】 等差数列中，若 ，则_________ 【变式2-2】 在等差数列中，，则 ______． 【变式2-3】 在等差数列中，若 ，则______． 【变式2-4】 已知等差数列满足，则 __． 例3. 已知数列为等差数列，，则 （    ） A．8 B．12 C．15 D．24 【变式3-1】 已知数列为等差数列，且，则 ____． 【变式3-2】 已知在等差数列中，是方程 的两个根，则__________. 【变式3-3】 在等差数列中，若 ，则________． 【变式3-4】 在等差数列中，已知， 则_______. 3.求和公式基本运算 例4. 记为等差数列的前项和，且 ，则取最大值时的值为（　　  ） A．12 B．12或11 C．11或10 D．10 【变式4-1】 记为等差数列的前项和．已知 ，则下列结论正确的有________．(填序号) ①；     ②； ③；    ④. 【变式4-2】 记为等差数列的前项和，若 ，，则______． 【变式4-3】 记等差数列的前项和为，若 ，则___． 【变式4-4】 在等差数列中，前项和记作，若 ，则______． 【变式4-5】 设等差数列的前项和为，若 ，则______. 4.中项性质在求和中的运用 例5. 等差数列中，，的前项和为， 则____ 【变式5-1】 记为等差数列的前项和，若 ，则______． 【变式5-2】 已知数列为等差数列，为其前项和， 且，则______ 【变式5-3】 设等差数列的前项和为，若 ，则______． 【变式5-4】 已知公差不为零的等差数列的前项和为 ，若，则___________. 【变式5-5】 已知等差数列的前项和为，若 ，且，则______． 【变式5-6】 已知等差数列的前项和为，若 ，则__________. 例6. 设等差数列的前项和为，若， ，则___________时，取得最大值. 【变式6-1】 若等差数列满足 ， ，则当____时，的前项和最大． 【变式6-2】 设等差数列的前项和为，且 ，则当n＝___时，最小． 【变式6-3】 设等差数列的前项和为，若 ，，则满足的最小正整数的值为（    ） A．1011 B．1012 C．2021 D．2022 【变式6-4】 设是等差数列，， ，，则使成立的最大自然数是（    ） A．4013 B．4014 C．4015 D．4016 例7. 若等差数列，的前项和分别为，， 满足，则_______. 【变式7-1】 设等差数列，的前项和分别为 ，，且，则____ 【变式7-2】 设等差数列，的前项和分别为 ，，若，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-3】 两个等差数列，的前项和分别为 和，已