4.1数列的概念讲义-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

第四章 数列 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 4.1数列的概念 1.按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用表示……第个位置上的数叫做这个数列的第项，用表示.其中第1项也叫做首项.数列的一般形式是简记为. 3.数列是从正整数集（或它的有限子集）到实数集的函数.其自变量是序号，对应的函数值是数列的第项，记为. 4.从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做递增数列；从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做递增数列.各项都相等的数列叫做常数列. 5.如果数列的第项与它的序号之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.或常常用来表示正负相间的变化规律. 6.如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式.知道了首项和递推公式，就能求出数列的每一项了. 7.数列从第1项起到第项止的各项之和，称为数列的前项和，记作，即.显然，而， 于是就有 1.通项公式 例1. 数列的一个通项公式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】 数列的通项公式可能为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】 数列的第项为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】 数列的一个通项公式为 （    ） A． B． C． D． 例2. 某种细胞开始时有2个，1小时后分裂成4个并死去 1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个按照此规律，12小时后细胞存活个数（    ） A．2048 B．2049 C．4096 D．4097 【变式2-1】 裴波那契数列的前7项是1，1，2，3，5， 8，13，则该数列的第8项为________． 【变式2-2】 斐波那契数列的前7项是1，1，2，3，5， 8，13，则该数列的第10项为___________． 【变式2-3】 数列，，，，的第14项是 _________． 【变式2-4】 数列…的一个通项公式是 ________． 【变式2-5】 如下图所示，将若干个点摆成三角形图案，每 条边（包括两个端点）有个点，相应的图案中点的个数记为，按此规律，则___________． 【变式2-6】 如图所示的三角形叫“莱布尼兹调和三角形”， 它们是由整数的倒数组成，第行有个数且两端的数均为，每个数是它下一行左右相邻的两数的和，如，则第8行第4个数（从左往右数）为（    ） A． B． C． D． 2.数列的周期性 例3. 数列满足：，则的值为 __________. 【变式3-1】 数列满足 ，则数列的第2022项为___________. 【变式3-2】 已知数列中，，则 _________． 【变式3-3】 已知数列满足,, ,则______. 3.递推公式 例4. 已知数列满足，对任意的都有 ，则______. 【变式4-1】 在数列中，（， ），则______． 【变式4-2】 已知数列的递推公式为 ，则___________. 【变式4-3】 在数列中，，， ，则______． 【变式4-4】 已知数列满足，且， 则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【变式4-5】 已知数列满足，且， 则___________. 4.累乘法 例5. 已知数列满足，则 __________． 【变式5-1】 数列满足， ，则______． 【变式5-2】 若数列满足， ，则（    ） A． B． C． D． 5.已知求通项 例6. 已知数列的前n和，则数列的 通项公式为________． 【变式6-1】 已知数列的前项和，则 ______. 【变式6-2】 已知数列的前n项和，则数列 的通项公式为______． 【变式6-3】 已知数列的前项和， ，则______． 【变式6-4】 若数列的前项和 ，则此数列的通项公式为___________． 【变式6-5】 数列的前项和，则 _____. 6.数列的单调性 例7. 已知数列满足，，则数列 （    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【变式7-1】 数列的通项若 是递增数列，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】 （多选）下列数列是单调递增数列的有 （