2023年中考数学高频考点突破——二次函数与最值

2023年中考数学高频考点突破——二次函数与最值 1．如图，已知抛物线(a为常数，且a＞0)与x轴从左至右依次交于A，B两点，与y轴交于点C，经过点B的直线与抛物线的另一交点为D，且点D的横坐标为﹣5． (1)求抛物线的函数表达式； (2)P为直线BD下方的抛物线上的一点，连接PD、PB, 求△PBD面积的最大值． (3)设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F，再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？ 2．如图，已知二次函数y=﹣x2+bx+c的图象交x轴于点A（4，0）和点B，交y轴于点C（0，4）． （1）求这个二次函数的表达式； （2）若点P在第一象限内的抛物线上，求四边形AOCP面积的最大值和此时点P的坐标； （3）在平面直角坐标系内，是否存在点Q，使A，B，C，Q四点构成平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由． 3．如图，直线y＝－x+4与x轴交于点A，与y交于点C，已知二次函数的图象经过点A，C和点B（－1，0）， (1)求该二次函数的关系式； (2)设该二次函数的图象的顶点为M，求四边形AOCM的面积； (3)有两个动点D、E同时从点O出发，其中点D以每秒个单位长度的速度沿折线OAC按O→A→C的路线运动，点E以每秒4个单位长度的速度沿折线OCA按O→C→A的路线运动，当点D、E两点相遇时，它们都停止运动，设D，E同时从点O出发t秒时，△ODE的面积为S， ①请问D，E两点在运动过程中，是否存在DE∥OC，若存在，请求出此时t的值，若不存在，请说明理由； ②直接写出S关于t的函数关系式，并写出自变量t的取值范围； ③在②中，当t是多少时，S有最大值，并求出这个最大值. 4．如图，点P( x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数图象C1与C2上的任一点． 当a ≤ x ≤ b时，有-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，则称这两个函数在a ≤ x ≤ b上是“相邻函数”，否则称它们在a ≤ x ≤ b上是“非相邻函数”． 例如，点P(x， y1)与Q (x， y2)分别是两个函数y = 3x+1与y = 2x - 1图象上的任一点，当-3 ≤ x ≤ -1时，y1 - y2 = (3x + 1) - (2x - 1) = x + 2，通过构造函数y = x + 2并研究该函数在-3 ≤ x ≤ -1上的性质，得到该函数值的范围是-1 ≤ y ≤ 1，所以-1 ≤ y1 - y2 ≤ 1成立，因此这两个函数在-3 ≤ x ≤ -1上是“相邻函数”． （1）判断函数y = 3x + 2与y = 2x + 1在－2 ≤ x≤ 0上是否为“相邻函数”，说明理由； （2）若函数y = x2 - x与y = x - a在0 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，求a的取值范围； （3）若函数y =与y =－2x + 4在1 ≤ x ≤ 2上是“相邻函数”，直接写出a的最大值与最小值． 5．如图，已知抛物线P：y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A、B两点（点A在x轴的正半轴上），与y轴交于点C，矩形DEFG的一条边DE在线段AB上，顶点F、G分别在线段BC、AC上，抛物线P上部分点的横坐标对应的纵坐标如下： x … ﹣3 ﹣2 1 2 … y … ﹣4 0 … （1）求A、B、C三点的坐标； （2）若点D的坐标为（m，0），矩形DEFG的面积为S，求S与m的函数关系，并指出m的取值范围； （3）当矩形DEFG的面积S取最大值时，连接DF并延长至点M，使FM＝k•DF，若点M不在抛物线P上，求k的取值范围． 6．如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（1，0）、C（0，3）． （1）求抛物线的解析式； （2）若点P为抛物线在第二象限上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标； （3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 7．如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为（2，4）；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）． ①当t=2秒时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； ②设以P、N、C、D为顶