3.3垂径定理 同步练习 2022－2023学年北师大版数学九年级下册

北师大版九下3.3垂径定理 （共18题） 一、选择题（共10题） 如图， 是 的弦，当半径 ， 时，弦 的长 A． B． C． D． 如图， 所在的直线垂直平分线段 ，利用这样的工具，可以找到圆形工件的圆心，如果使用此工具找到圆心，最少使用次数为 A． B． C． D． 半径为 的圆中，垂直平分半径的弦长等于 A． B． C． D． 如图，在 中，弦 垂直于直径 ，垂足为点 ，，，则 的长为 A． B． C． D． 如图，已知 是 的直径， 是弦， 于点 ，若 ，，则 的长是 A． B． C． D． 如图所示， 是 的直径，弦 ，，，则 A． B． C． D． 如图， 中，半径 ，弦 垂直平分 ，则 的长是 A． B． C． D． 如图， 的半径 弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，连接 ．若 ，，则 的长为 A． B． C． D． 如图，在平面直角坐标系 中，以原点 为圆心的圆过点 ，直线 与 交于 ， 两点，则弦 长的最小值为 A． B． C． D． 如图所示， 是 的直径，弦 ，，，则阴影部分图形的面积为 A． B． C． D． 二、填空题（共4题） 如图，点 ， 在半圆的直径 上，点 ， 在 上，四边形 为正方形，若半圆的半径为 ，则正方形的边长为 ． 如图，已知在 中，半径 垂直于弦 ，垂足为点 ．如果 ，，那么 ． 如图， 是 的弦，，垂足为点 ，将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ，若 ，则 的半径为 ． 如图，已知 是 的直径，弦 交 于点 ，，，垂足为点 ，，，那么 ． 三、解答题（共4题） 如图， 内接于 ， 是 的直径， 是 的中点，弦 于点 ，连接 ，分别交 ， 于点 ，． (1) 求证： 是线段 的中点； (2) 若 的半径为 ， 是 的中点，求弦 的长． 如图，， 与 相交于点 ，，．求 的长． 如图，， 是 的弦，，，垂足分别为 ，，，求 的长． 如图，已知圆 的直径 垂直弦 于点 ，连接 并延长交 于点 ，且 ． (1) 证明： 是 的中点； (2) 若 ，求 的长． 答案 一、选择题（共10题） 1. 【答案】D 2. 【答案】B 【解析】根据垂径定理可知， 所在直线是直径的位置，而两条直径的交点即为圆心， 如图所示，使用 次即可找到圆心 ． 3. 【答案】B 【解析】本题考查垂径定理．设弦长为 ，根据题意，利用勾股定理可得 ，解得 4. 【答案】B 5. 【答案】D 【解析】连接 ， 因为 ， 是 直径，， 所以 ， 因为直径 ， 所以半径 ， 在 中，由勾股定理得：， 所以 ． 6. 【答案】D 【解析】 如图所示，设 与 交于点 ， 根据垂径定理得到 ，由 得到 ，， 所以 ，则 与 的面积相等， 所以阴影部分面积与扇形 的面积相等． 在 中，， 所以 ． 7. 【答案】D 8. 【答案】A 【解析】设 的半径为 ， ， ， 在 中， ， ， ，， ， ，， ． 9. 【答案】B 【解析】 ，当 时，，故直线 恒过点 ，记为点 ． 过圆内定点 的所有弦中，与 垂直的弦最短． 如图，连接 ， ，， 在 中，， ． 10. 【答案】D 【解析】设弦 和直径 相交于点 ， 因为弦 ， 所以 ，． 又 ， 所以 ，， 所以 ， 所以 ， 所以 ，则阴影部分的面积等于扇形 的面积． 在 中，由勾股定理可得 ， 所以 ． 二、填空题（共4题） 11. 【答案】 12. 【答案】 【解析】 半径 垂直于弦 ， ，， 设 ，则 ，， ， 解得：， ． 13. 【答案】 【解析】连接 ， 设半径为 ， 将劣弧 沿弦 折叠交于 的中点 ， ， ， ， ， ，解得 （舍负）． 14. 【答案】 【解析】 是 的直径，， 根据垂径定理可知：， ， ， ，， ， ． 三、解答题（共4题） 15. 【答案】 (1) ， 是直径， ． 又 ， ， ， ． 是 的直径， ，， ， ， ， 即 是线段 的中点． (2) ， 是直径， ，． 又 ， ，， ． 又 ， ， ． 16. 【答案】如图，作 于 ， ，，， ， ， ， 在 中， ， ， ， ． 17. 【答案】 ，， 点 ， 分别是 ， 的中点