圆中的相似问题考点综合练--2023年 数学中考二轮复习

圆中的相似问题 1．如图，边长为6的等边三角形ABC内接于⊙O，点D为AC上的动点（点A、C除外），BD的延长线交⊙O于点E，连接CE． (1)求证； (2)当时，求CE的长． 2．如图，在中，，为上一点，经过点的分别交，于点，，与相切于点，连接，相交于点． (1)求证：平分； (2)求证：； (3)若，，求的长． 3．如图，是的直径，、是上两点，且，过点的直线交的延长线于点，交的延长线于点，连接、交于点． （1）求证：是的切线； （2）若，的半径为2，求阴影部分的面积； （3）连结，在（2）的条件下，求的长． 4．如图，是的外接圆，点在边上，的平分线交于点，连接、，过点作的平行线，与的延长线相交于点． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）当，时，求线段的长． 5．如图，过的圆心，交于点、，是的切线，点是切点，已知，． （1）求证：； （2）求的周长． 6．如图，四边形内接于，是的直径，与交于点E，切于点B． （1）求证：； （2）若，，求证：． 7．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC沿直线AB翻折得到△ABD，连接CD交AB于点M．E是线段CM上的点，连接BE．F是△BDE的外接圆与AD的另一个交点，连接EF，BF， （1）求证：△BEF是直角三角形； （2）求证：△BEF∽△BCA； （3）当AB=6，BC=m时，在线段CM正存在点E，使得EF和AB互相平分，求m的值． 8．如图1，为半圆O的直径，C为延长线上一点，切半圆于点D，，交延长线于点E，交半圆于点F，已知．点P，Q分别在线段上（不与端点重合），且满足．设． (1)求半圆O的半径． (2)求y关于x的函数表达式． (3)如图2，过点P作于点R，连结． ①当为直角三角形时，求x的值． ②作点F关于的对称点，当点落在上时，求的值． 9．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N． （1）若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径； （2）求证：△BNF为等腰三角形； （3）连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M．求证：ON•OP＝OE•OM． 10．如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝2cm，点E从点B出发，沿BC以每秒1cm的速度向点C匀速运动，当点E到达点C时停止运动，设点E的运动时间为t秒．连结AE，过点E作EF⊥AE，E为垂足，点F在直线BC的上方，且，以点F为圆心，FE为半径作圆，连结CF． (1)当时，判断点C与的位置关系． (2)当时，是否会与矩形ABCD的边所在的直线相切，若相切，求出t的值，若不相切，请说明理由． (3)直接写出点F的运动路径长． 11．如图，△ACE，△ACD均为直角三角形，∠ACE=90°，∠ADC=90°，AE与CD相交于点P，以CD为直径的⊙O恰好经过点E，并与AC，AE分别交于点B和点F． （1）求证：∠ADF=∠EAC． （2）若PC=PA，PF=1，求AF的长． 12．如图，AC，BD为的两条直径，连接AB，BC，于点E，点F是半径OC的中点，连接EF． (1)若，求证． (2)连接，，设与交于点， ①求证：． ②若，求的度数． 13．如图1，⊙O的直径为BC，点A在⊙O上，∠BAC的平分线AD与BC交于点E，与⊙O交于点D，，． (1)求． (2)求证：． (3)如图2，点F是AB延长线上一点，且．求证：DF是⊙O的切线，并求线段DF的长． 14．如图，O为线段PB上一点，以O为圆心，OB长为半径的⊙O交PB于点A，点C在⊙O上，连接PC，满足． (1)求证：PC是⊙O的切线； (2)若AB＝3PA，求的值． 15．如图，在⊙O中，AB为直径，P为AB上一点，PA＝1，PB＝m（m为常数，且m＞0）．过点P的弦CD⊥AB，Q为上一动点（与点B不重合），AH⊥QD，垂足为H．连接AD、BQ． （1）若m＝3． ①求证：∠OAD＝60°； ②求的值； （2）用含m的代数式表示，请直接写出结果； （3）存在一个大小确定的⊙O，对于点Q的任意位置，都有BQ2﹣2DH2+PB2的值是一个定值，求此时∠Q的度数． 参考答案： 1．(1)见解析 (2) （1）∵所对的圆周角是， ∴， 又， ∴； （2）∵△是等边三角形， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 连接如图， ∵ ∴ ∴∠ 又∠， ∴△ ∴， ∴ ∴， ∴（负值舍去） ∴， 解得， 2．(1)见解析； (2)见解析； (3)． (1) 证明：如图1，连接OD， ∵BC是⊙O的切线， ∴∠ODB＝90°＝∠C， ∴ODAC， ∴∠ODA＝∠CAD， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∴∠OAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； (2)