专题01 菱形的性质与判定（3个知识点10种题型2个易错点3种考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（北师大版）

专题01菱形的性质与判定（3个知识点10种题型2个易错点3种考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：菱形的定义 知识点2：菱形的性质（重难点） 知识点3：菱形的判定（重难点） 【方法二】 实例探索法 题型1：利用菱形的性质计算 题型2：利用菱形的性质进行证明 题型3：求菱形的面积 题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题 题型5：证明四边形为菱形 题型6：菱形的判定与性质的综合应用 题型7：与菱形有关的探究性问题 题型8：菱形中的动点问题 题型9：一题多解-菱形证明 题型10：菱形中的翻折与旋转 【方法三】 差异对比法 易错点1菱形的面积公式应用出错 易错点2 不理解菱形的几种判定方法而导致错误 【方法四】 仿真实战法 考法1：菱形的性质 考法2：菱形的判定 考法3：菱形的判定、性质的综合 【方法五】 成果评定法 【知识导图】 【倍速学习五种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：菱形的定义 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形． 知识点2：菱形的性质（重难点） 菱形除具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质： (1) 菱形的四条边都相等； (2) 菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． （3）菱形是轴对称图形，它有两条对称轴. 注意： (1) 菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等 的两部分； (2) 菱形也是轴对称图形，有两条对称轴(对角线所在的直线)，对称轴的交点就是对称中心； (3) 菱形的面积有两种计算方法： 一种是平行四边形的面积公式：底×高； 另一种是两条对角线乘积的一半(即四个小直角三角形面积之和)． 实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘积的一半． 知识点3：菱形的判定（重难点） 菱形的判定定理1：四条边都相等的四边形是菱形 菱形的判定定理2：对角线互相垂直的平行四边形是菱形 定义判定：有一组邻边相等的平行四边形是菱形. 要点诠释：前一种方法是在四边形的基础上加上四条边相等.后两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形， 例1.下列命题中，真命题是 ( ) A．一组对边平行且有一组邻边相等的四边形是平行四边形 B．等边三角形既是轴对称图形又是中心对称图形 C．对角线互相垂直平分的四边形是菱形 【方法二】实例探索法 题型1：利用菱形的性质计算 例2（1）菱形的两条对角线长的比是，边长为10厘米，菱形的面积是_________； （2）菱形的两条对角线长的比是2:3，面积是12cm2，则它的两条对角线的长分别是_____cm、_____cm，该菱形的周长是_______cm． 例3.（1）菱形有一个内角为，一条较短的对角线长为6，则菱形的边长为 _________； （2）如图，在菱形中，，，则 ． O 例4.如图所示，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，E为垂足，连接DF，求∠CDF的度数． A B C D E F 题型2：利用菱形的性质进行证明 例5．已知：如图，四边形ABCD是菱形，F是AB上一点，DF交AC于E．求证：∠AFD=∠CBE． 题型3：求菱形的面积 例6.如图所示，在菱形ABCD中，AC＝8，BD＝10． 求：(1)AB的长．(2)菱形ABCD的面积． 题型4：利用菱形的轴对称性解决最小值问题 例7.如图，菱形ABCD的边长为4 cm，且∠ABC＝60°，E是BC的中点，P点在BD上，则PE+PC的最小值为________ 题型5：证明四边形为菱形 例8.如图， 中，，，平分交于， 交于．求证：四边形是菱形． 题型6：菱形的判定与性质的综合应用 例9.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AE∥CD，CE∥AB，连接DE交AC于点O． 　　（1）证明：四边形ADCE是菱形； 　　（2）证明：DE=BC； 　　（3）若∠B=60°，BC=6，求菱形ADCE的高（计算结果保留根号）． 　　　　 题型7：与菱形有关的探究性问题 例10.已知△ABC是等边三角形，点D是射线BC上的一个动点（点D不与点B、C重合），△ADE是以AD为边的等边三角形，过点E作BC的平行线，分别交射线AB、AC于点F、G，连接BE． （1）如图1所示，当点D在线段BC上时， ①试说明：△AEB≌△ADC ②探究四边形BCGE是怎样特殊的四边形，并说明理由． （2）如图2所示，当点D在BC的延长线上时，探究四边形BCGE是怎样特殊的四边 形，并说明理由． （3）在（2）的情况下，当点D运动到什么位置时，四边形BCGE是菱形？并说明理 由． A B C D E F G A B C D G