同步培优：同余问题（教案）-五年级下册数学通用版

五年级下册数学教案-同步培优：同余问题 学习目标： 1. 理解同余问题，熟悉本节内容的几个结论并能初步运用。 2. 运用结论求较大数的余数。 教学重点: 同余问题几个结论的理解与初步运用。 教学难点： 利用结论解决同余问题。 教学过程： 1、 情景体验 师：（展示图片）幼儿园正在举行颁奖典礼，小明所在的班上有8个小朋友获得 了“优秀之星”称号，奖品是41颗彩虹糖和17个苹果。现在要平均分给这8个小朋友，问彩虹糖和苹果会有剩余吗？同学们能帮帮忙计算一下吗？ 生：41÷8=5（颗）……1（颗），17÷8=2（个）……1（个） 师：观察这两个式子，发现除数都是8，被除数和商不同，但是余数都相同。大家还记得以前学过的带余除法吗？ 生1：被除数÷除数=商……余数 生2：被除数=除数×商+余数 师：回答得很对！在数学王国里，有些问题更关心余数是多少，不关心除式中的商是多少。比如图中所遇到的这个分糖果、苹果的问题，就是更关心余数，这样的问题就是今天我们要研究的同余问题。（板书课题：同余问题） 2、 思维探索（建立知识模型） 展示例1 例1：分别把51个梨子和39个苹果平均分给一班的小朋友，最后余下的梨子数和苹果数相同，且每个小朋友的梨子比苹果多1个，求余下的苹果数。 师：读完题后，你能从题中获得哪些信息？ 生：要求余数，一般需要知道被除数和除数。 师：你能根据题目条件列出除法式子吗？ 师引导学生列出式子并做简要说明（PPT） 师：梨子的总数比苹果的总数多12个，而最后余下的梨子数和苹果数相同，说 明分出去的梨子数与苹果数之间有什么关系呢？ 生：分出去的梨子数仍然比苹果数多12个。 师：分给每个小朋友的梨子比苹果多1个，那么，有多少个小朋友才能保证梨子 数比苹果数多12个呢？ 生：12÷1=12（个），有12个小朋友。 师：因此我们得到了除数是12，接下来苹果的余数怎么求呢？ 生：39÷12=3（个）……3（个），余数是3。 师小结：这道题中，关键是要理解题意求出除数。 展示例2 例2：有一个自然数，除300，243和205所得的余数相同，且余数不为0，求这个数。 师：读完题后，你能判断在除法中300、243和205是什么数吗？ 生：都是被除数。 师：除数、商、余数都不知道，为了便于理解，我们可以用字母表示。除数为b，商为q，余数为r，根据带余除法，可得： 300=b×q1+r …… ① 243=b×q2+r …… ② 205=b×q3+r …… ③ 师：除数b和余数r相同，商q不相同，怎么办呢？ 师引导：如果用上面第1式减去第2式，会得到什么？我们一起来看看。 第1式减第2式，左边减左边，右边减右边，得到57=b×（q1-q2）,余数抵消了。 师：观察57=b×（q1—q2），可知57是b的倍数，b是57的因数。同样的道理，用第2式减第3式，也是这样。大家动手算一算。 生1：第2式减第3式，左边减左边，右边减右边，得到38=b×（q2—q3） 生2：同样，38是b的倍数，b是38的因数。 师：既然b是57的因数，又是38的因数，说明什么？ 生：说明b是57和38的公因数，可以求出（57，38）=19，所以b=19，也就是这个除数是19。 师小结：如果若干个数被同一个数除余数相同，那么这若干个数两两之差（大减小）一定是这个除数的倍数，即除数是这些差的公因数。 展示例3 例3：求4321×3275被17除的余数。 师：读完题后，你认为怎么求余数呢？ 师：题目数很大，直接计算很麻烦。有没有简单一点的方法呢？我们不妨先来看一些较小的数。 师：请同学们计算12÷5与17÷5的余数，看看有什么特点。 生：12÷5=2……2，17÷5=3……2，余数相同，都是2。 师：非常好！说明12和17除以5同余。 再来看一组9÷5与19÷5，余数有什么特点。 生：9÷5=1……4，19÷5=3……4，余数相同，都是4。 师：说明9和19除以5也同余。 师：那么，12×9÷5与17×19÷5的余数有什么特点呢？ 生1：12×9÷5=21……3，17×19÷5=64……3 生2：余数相同，都是3。 师：观察刚才给出的例子，当除数相同都是5时，可以发现12和17同余，9和19同余，12×9和17×19也同余。因此我们得出一个结论： 甲和乙同余，丙和丁同余，那么甲和丙的积与乙和丁的积一定同余。 师：现在同学们能运用这个结论解答例1吗？ 学生尝试解答，老师再集体订正。 师：4231÷17=254……3，3÷17=0……3 3275÷17=192……11，11÷17=0……11 4321×3275与3×11除以17同余 3×11