专题8.6 外接球专题训练（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.6 外接球专题训练 1．棱长为1的正方体的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：易知，正方体的体对角线是其外接球的直径，设外接球的半径为， 则，故， 所以． 故选：． 2．在三棱锥中，已知，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：因为三棱锥的对棱相等，所以可以把它看成长方体的面对角线， 设长方体的同一顶点三条棱长分别为，，，且长方体的面对角线长为， 则， 长方体体对角线为长方体外接球直径，即为三棱锥外接球的直径， ，它外接球半径等于， 所以球的表面积为． 故选：． 3．在四面体中，，则四面体外接球表面积是　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题意可知，此四面体可以看成一个长方体的一部分， 该长方体的长、宽、高分别为，，2，四面体如图所示， 此四面体的外接球的直径为长方体的体对角线， 即，解得， 四面体外接球表面积是． 故答案为：． 4．已知三棱锥的外接球，为球的直径，且，，，那么三棱锥的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由为球的直径可知，，，即，又， 所以为等边三角形，即外接圆的半径， 因为球的半径，所以点到平面的距离， 故顶点到平面的距离为，所以． 故选：． 5．若正四面体的表面积为，则其外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设正四面体的棱长为， 由题意可知：，解得：， 所以正四面体的棱长为， 将正四面体补成一个正方体，则正方体的棱长为2，正方体的体对角线长为， 因为正四面体的外接球的直径为正方体的体对角线长， 所以外接球半径， 则外接球的体积为， 故选：． 6．已知球是正三棱锥的外接球，是的中点，且，侧棱，则球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：三棱锥为正三棱锥， ， 又是的中点，且， 平面， 则，， 又三棱锥为正三棱锥， ， 设球的半径为， 则， 则球的表面积为， 故选：． 7．如图，已知长方体的体积为16，，与相交于点，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设，则由长方体的体积公式，得，解得， 所以， 由题可知，四边形为正方形， 所以， 所以外接圆的圆心为的中点，记为点，如图： 又是直角三角形，同理外接圆的圆心为的中点，即为点， 过点，分别作平面与平面的垂线，两条垂线的交点为的中点， 所以三棱锥的外接球的球心是的中点， 又， 所以外接球半径为， 所以外接球的表面积为， 故选：． 8．三棱锥中，平面，，，则该三棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：由平面，，知三棱锥可补形为以，，为三条棱的长方体，如图所示， 三棱锥的外接球即长方体的外接球，长方体的对角线是外接球的直径，设外接球的半径为， 则，所以该三棱锥的外接球表面积为． 故选：． 9．在棱长为2的正方体中，，，分别为，，的中点，则三棱锥的外接球的体积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：正方体中，，分别为，的中点，连接， ，平面，平面， 平面，，又， 即和有公共的斜边，设的中点为， 则点，点为三棱锥外接球的球心， 为该球的直径，， ，该球的体积． 故选：． 10．已知三棱锥中，底面，若，，则三棱锥的外接球的体积为　　． A． B． C． D． 【解答】解：根据已知中底面是边长为6的正三角形，平面，， 可得此三棱锥外接球，即为以为底面以为高的正三棱柱的外接球， 是边长为6的正三角形， 的外接圆半径，球心到的外接圆圆心的距离， 故球的半径， 三棱锥外接球的体积为：． 故选：． 11．在三棱锥中，是边长为的正三角形，若三棱锥的外接球的表面积为，则三棱锥体积的最大值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图， 设底面正三角形的中心为，连接交于，则， 是边长为，， 设三棱锥的外接球的球心为，连接，则，得， 则， 要使三棱锥体积最大，则在的延长线与球的交点处， 三棱锥高的最大值为， 可得三棱锥体积的最大值为． 故选：． 12．如图，四棱锥中，平面，底面为边长为4的正方形，，则该四棱锥的外接球表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：四边形为边长为4的正方形，四边形的外接圆半径， 又平面，，四棱锥的外接球半径， 四棱锥的外接球表面积． 故选：． 13．在三棱锥中，，，且，，，，则三棱锥的外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：，则，在中，，，则， 又，，则，即， ，，平面，平面， 平面， 故将三棱锥放于长方体中，如图所示： 则体对角线即为三棱锥的外接球的直径，即半径为， 三棱锥的外接球的表面积为， 故选：． 14．在三棱锥中，平面，则三棱锥外接球的表面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设外接圆的半径为，圆心为， 根据正弦定理，则，故， 设三棱锥外接球的半径为， 由，可