专题8.5 立体几何中的多选题型专练（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.5 立体几何中的多选题型专练 1．在长方体中，，，是线段上的一动点，则下列说法正确的是　　 A．平面 B．与平面所成角的正切值的最大值是 C．的最小值为 D．以为球心，5为半径的球面与侧面的交线长是 【解答】解：如图，连接，，则，，且平面，平面，平面，平面， 平面，平面，且， 平面平面，且平面， 平面，正确； 平面，连接，则为和平面所成的角， ，当时，最小，最大，此时，，错误； 为的中点时，，，，，此时最小， 最小值为，正确； 连接，，可得出，以为球心，5为半径的球面与侧面的交线为以为圆心，为半径的圆弧，圆弧长为，正确． 故选：． 2．如图，点在正方体的面对角线上运动，则下列四个结论，其中正确的结论的是　　 A．三棱锥的体积不变 B．平面 C． D．平面平面 【解答】解：如图，在正方体中， ，，即四边形为平行四边形，，平面，平面， 则平面， 于是得点到平面的距离是定值， 而面积是定值，因此三棱锥的体积不变，正确； 由选项知，平面， 同理平面， 而，，平面， 则平面平面， 而平面，即有平面，正确； 因，即△为正三角形，点在上，则与不一定垂直，不正确； 因平面，平面，即有，正方形中，， 而，，平面，则平面，平面， 于是得，同理， 又，，平面， 则平面， 而平面， 因此平面平面，正确． 故选：． 3．如图，在矩形中，，，为中点，现分别沿、将、翻折，使点、重合，记为点，翻折后得到三棱锥，则　　 A．三棱锥的体积为 B．直线与直线所成角的余弦值为 C．直线与平面所成角的正弦值为 D．三棱锥外接球的半径为 【解答】解：由题意可得，， 又，，平面， 所以平面， 在中，边上的高为， 所以，故错误； 对于，在中，， ， ， 所以直线与直线所成角的余弦值为，故正确； 对于，， 设点到平面的距离为， 由，得，解得， 所以直线与平面所成角的正弦值为，故错误； 由选项知，，则， 所以的外接圆的半径， 设三棱锥外接球的半径为， 又因为平面， 则，所以， 即三棱锥外接球的半径为，故正确． 故选：． 4．已知正方体的棱长为2，点在正方形内（不包含边界）运动，且，则下列说法正确的是　　 A．与平面所成角为定值 B．点的轨迹长度为 C．存在点使得 D．存在唯一的点使得 【解答】解：与底面所成角即为与底面所成角，即为与平面所成的角， ，故正确； 由知，故点轨迹是以为圆心，1为半径的圆位于正方形内部的圆弧，故错误； 由，故不存在点使得，故错误； 在底面内的射影为， 若，则，故为圆弧与的交点，故正确． 故选：． 5．如图，在已知直四棱柱中，四边形为平行四边形，，，，分别是，，，的中点，以下说法正确的是　　 A．若，，则 B． C．平面 D．若，则平面平面 【解答】解：连接，，由已知，， ，四边形是平行四边形，， ， ， ， ，，故正确； ，分别是，的中点，， ，， ，四边形是平行四边形， 平面，，平面， 与是异面直线，故错误； ，平面，平面， 平面，故正确； 若，则四边形为菱形，， ，，平面，平面， 平面平面，故正确． 故选：． 6．正方体中，与平面，平面的分别交于点，，则有　　 A． B． C．与所成角为 D．与平面所成角为 【解答】解：对选项，平面， ， 又，且，平面，平面， 平面， 又平面， ，故正确； 对选项，由选项知，， 又平面，平面， ，且，平面，平面， 平面，即平面， 同理平面， 故点到面的距离为． 设正方体棱长为2， 因为为正三角形， 所以， 又． 根据等体积转换可知：，即， 即， 所以， 同理， 又， ，故正确； 对选项，， （或其补角）即为异面直线与所成角， 四边形为正方形， ， 与所成角为，故错误； 对选项，平面， ， 又，且，平面，平面， 平面， 设，则平面，连接，如图， 由线面角的定义知，为与平面所成角， 设正方体棱长为2，则，， ， ，， 与平面所成角为，故正确； 故选：． 7．如图，正方体的棱长为1，是线段上的动点，则下列结论正确的是　　 A．四面体的体积为定值 B．的最小值为 C．平面 D．当直线与所成的角最大时，四面体的外接球的体积为 【解答】解：对于，由正方体可得平面平面，且，平面， 所以到平面的距离等于到平面的距离， 所以四面体的体积为， 所以四面体的体积为定值，故正确； 对于，当与重合时，， 所以的最小值不为，故错误； 对于， 连接，， 由正方体可得，，所以四边形是平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，同理可得平面 因为，，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面，故正确； 对于，因为，所以（或其补角）为直线与所成的角， 由图可得当与重合时，此时最大，故此时直线与所成的角最大， 所以四面体即四面体的外接球即为正方体的外接球， 所以外接球的直径为，即， 所以四面体的外接球的体