湖南省多校2022-2023学年高一下学期期中联考数学试题

2023年上学期高一期中联考 数学 本试卷共4页。全卷满分150分，考试时间120分钟。 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑，如有改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数虚部是（ ） A. B. C. －1 D. 1 2. 若正实数、满足，则当取最大值时，的值是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在平行四边形ABCD中，，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 下列关于平面图形的直观图的叙述中，正确的是（ ） A. 等腰三角形的直观图仍是一个等腰三角形 B. 若某一平面图形的直观图面积为，则原图形面积为 C. 原图形中相等的线段，其直观图也一定相等 D. 若三角形的周长为12，则其直观图的周长为6 6. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 若为锐角三角形，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知向量，，设函数，若为图象的对称轴，为图象的对称中心，且在区间 上单调，则ω的值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 11 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 以三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 B. 棱台的侧面都是等腰梯形 C. 底面半径为r，母线长为2r圆锥的轴截面为等边三角形 D. 棱柱的侧棱长都相等，但侧棱不一定都垂直于底面 10. 下列命题错误的是（ ） A. 复数不能比较大小 B. ， C. 若实数a，b互为相反数，则在复平面内对应的点位于第二或第四象限 D. 若复数，，其中a，b，c都为实数，则可能为实数 11. 下列说法正确的是（ ） A. 方向为北偏西60°的向量与方向为东偏南30°的向量是共线向量 B. 的内角A，B，C的对边分别a，b，c，若，则△ABC一定是等腰直角三角形 C. 若，则△ABC是锐角三角形 D. 记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，，若△ABC有两解，则b的取值范围是 12. 已知函数，若对满足的，，且的最小值为，则下列结论正确的是（ ） A. B. 若函数为偶函数，则 C. 方程在上有4个相异的实数根 D. 若函数在上的最小值为－2，则 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分． 13. 写出一个最小正周期为的偶函数：_________． 14. 已知向量，满足，，与的夹角为，则在上的投影向量为_____（用坐标表示）． 15. 已知函数，若，恒成立，则实数t的取值范围是___________． 16. 如图，在Rt△AOC中，，圆O为单位圆． （1）若点P在圆O上，，则______________ （2）若点P在△AOC与圆O公共部分的圆弧上运动，则的取值范围为__________ 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 17. 已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点． （1）求，的值； （2）求的值． 18. 已知向量，，． （1）求与垂直的单位向量的坐标； （2）若，求实数的值． 19. 已知复数，其中为实数且． （1）若，求； （2）若为纯虚数，且，求取值范围． 20. 年湖南省油菜花节，益阳市南县罗文村（湖南省首个涂鸦艺术村）通过层层遴选，最终在全省个申办村庄中脱颖而出，取得了此次活动的会场承办权，主办方为了让油菜花种植区与观赏路线布局最优化、合理，设计者们首先规划了一个平面图（如图）． 已知：四点共圆，，，，，其中（不计宽度）是观赏路线，与是油菜花区域． （1）求观赏路线的长度； （2）因为场地原因，只能使，求区域面积的最大值． 21. 对于函数，，若存在实数k使得函数，那么称函数为，k积函数． （1）设函数，，，试判断是否为，的k积函数？若是，请求出k的值；若不是，请说明理由； （2）设函数（其中，，），且函数图象的最低点坐标为，若函数，是，的1积函数，且对于任意实数，恒成立，求实数a的取值范围． 22. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c．已知， ． （1）求角B； （2