专题8.4 立体几何中的表面积与体积（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.4 立体几何中的表面积与体积 1．如图，已知棱长为1的正方体中． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【解答】（1）证明：如图，由正方体的结构特征可知，，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面， 平面； （2）解：三棱锥的体积 ． 2．六角螺帽也叫做六角螺母，一般螺帽有很多种类，有六角螺帽，有圆螺帽，方型螺帽等等，而不同种类的螺帽也有不同的尺寸标准．已知某种六角螺帽是一个在正六棱柱内部挖去一个圆柱得到的几何体，它的尺寸（单位：如图所示． （1）求该六角螺帽的体积； （2）求该六角螺帽的表面积． 【解答】解：（1）六角螺帽的体积为正六棱柱的体积减去圆柱的体积： ； （2）六角螺帽的表面积： ． 3．如图，某种“笼具”由内、外两层组成，无下底面，内层和外层分别是圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为． （1）求这种“笼具”的体积； （2）现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？ 【解答】解：（1）设圆柱的底面半径为，高为，圆锥的母线长为，高为， 根据题意可知：，，， 所以“笼具”的体积； （2）圆柱的侧面积， 圆柱的底面积，圆锥的侧面积， “笼具”的表面积为， 故造50个“笼具”的总造价：元． 4．如图，正四棱柱中，，点、分别是棱和的中点． （1）判断直线与的关系，并说明理由； （2）若直线与底面所成角为，求四棱柱的全面积． 【解答】解：（1）连结、、， 点、是中点，且， 正四棱柱中四边形是矩形，则且 于是且，则四边形是梯形， 则直线与是相交直线． （2）连结，因为，点是中点，所以在中，， 正四棱柱中面，则是直线与底面所成角， 所以，于是， 正四棱柱的4个侧面是矩形，上下两个底面是正方形， 则全面积为． 5．如图，已知三棱柱中，，，，是的中点，是线段上一点． （1）求证：； （2）设是棱上的动点（不包括边界），当的面积最小时，求棱锥的体积． 【解答】证明：（1）连接，， ，为中点，， 又，，，且， ， △△，，又，， 平面，； 由已知，，，，平面， 而，平面，； 解：（2）由（1）可知，．平面，， ，又在棱上移动，当时，最小，此时面积最小， 在△中，，则，， 在△中，过做，则，平面，于是可得， ． 6．如图，已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，，，，． （1）求证：平面； （2）若是的中点，求三棱锥的体积． 【解答】（1）证明：已知四棱锥中，平面，底面是直角梯形，且，，，，， 平面，， 在中，， 依余弦定理有：，， 又，，即， 又，平面； （2）解：在直角梯形中，过作于点， 则四边形为矩形，，， 在中，可得，， ，， 是的中点，到平面的距离是到平面距离的一半， ． 7．如图甲所示的正方形中，，，，对角线分别交，于点，，将正方形沿折叠使得与重合，构成如图乙所示的三棱柱．点在棱上，且． （1）证明：平面； （2）求三棱锥的体积． 【解答】（1）证明：过作，交于，连接，， 由于，则，所以，，，共面， 且平面平面， 因为，，所以， 又在正方形中，， 所以，，， 由，得， 所以四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面； （2）解：由（1）知，所以， 因为，即， 所以． 8．如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，，，，，点在底面上的射形为的中点，为线段上的点（含端点）． （1）若为线段的中点，证明：平面平面； （2）若，且三棱锥的体积为，求实数的值． 【解答】（1）证明：由点在底面上的射影为的中点，知平面， 因为平面，所以， 在中，，，， 由余弦定理知，， 所以，即， 因为，、平面，所以平面， 又平面，所以平面平面． （2）解：由（1）可得，，， 三棱锥的体积为，可得，解得， ，，可得． 9．如图，边长为3的正方形中，点是线段上的动点，点是线段上的动点，均不含端点，且满足，将，分别沿，折起，使，两点重合于点． （Ⅰ）求证：； （Ⅱ）当时，求三棱锥的体积． 【解答】解：（Ⅰ）证明：，重合于， ，， ，， 又平面，平面，， 平面， 平面，． （Ⅱ）由已知得，，， 则在中，边是的高， ， ． 10．如图，在直三棱柱中，，，为棱上一点，且，延长线段与交于点，连接． （1）求证：平面平面； （2）求四棱锥的体积． 【解答】（1）证明：已知，，为棱上一点，且，延长线段与交于点， 则，△， 所以， 因为， 所以， 在中，由余弦定理可得， 所以， 即， 因为平面， 又平面， 所以， 因为， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； （2）解：因为四边形为直角梯形， 所以， 过作交的延长线于， 因为平面， 所以， 因为， 所以平面， 又， 所以四棱锥的体积为， 即四棱锥的