专题8.3 立体几何中的存在性问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.3 立体几何中的存在性问题 立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究．这类试题的一般性设问方式是“是否存在？存在给出证明，不存在说明理由”． 解决这类试题，常有以下两种策略： 1.猜想法：即先通过对空间的图形理解猜想点线面在某种特殊位置时可能会满足条件，然后再尝试证明； 2.构造法：利用条件作出这个点，常常作面找线，作线找点． 1．如图，在底面是菱形的四棱锥中，，，，点在上，且，问在棱上是否存在一点，使平面？证明你的结论． 【解答】解：当是棱的中点时，平面． 证明如下： 取的中点，连结，则① 由，点在上，且，知是的中点， 连结、，设，则为的中点， 所以，② 由①、②知，平面平面， 又平面， 所以平面． 2．如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）证明：连接，则为的中点，且为的中点， 为的中位线， ； （2）在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下： 取的中点，连接，，且为的中点， ，且平面，平面， 平面，同理，平面，且，平面，平面， 平面平面． 3．如图，四边形是边长为2的菱形，且．四边形是平行四边形，且．点，在平面内的射影为，，且在上，四棱锥的体积为2． （1）求证：平面平面； （2）在上是否存在点，使平面？如果存在，试确定点的位置，如果不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）证明：四边形是菱形， ， 又在平面内的射影为，且在上， 平面， 又在平面内， ， 四边形是平行四边形， ，则， 又点在平面内的射影为， 平面， 又在平面内， ， ，且都在平面内， 平面， 又在平面内， 平面平面； （2）在上存在点，且，使平面，理由如下： 四棱锥的体积为2． ， ，则， 又，则，则， 又， ， 在上取点，使得，在上取点，使得，则，， 又，，且与均在平面内， 平面平面， 又在平面内， 平面． 4．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． （1）在线段上是否存在点，使得平面； （2）求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 如图，分别取，靠近点的三等分点，，连接，，，， 则，所以． 又平面，平面， 所以平面． 因为，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 且，所以平面平面， 平面， 所以平面． （2）由题意可知为等边三角形，因为底面， 所以平面平面，平面平面， 过点作，所以平面，因为为等边三角形， 所以，则点到平面的距离， ， ． 5．如图①所示，已知正三角形与正方形，将沿翻折至所在的位置，连接，，得到如图②所示的四棱锥．已知，，为上一点，且满足． （Ⅰ）求证：平面； （Ⅱ）在线段上是否存在一点，使得平面．若存在，指出点的位置，并证明你的结论；若不存在，请说明理由． 【解答】证明：（Ⅰ）△是正三角形，有， △中，，则， 正方形中，，，，平面， 于是平面，而，所以平面； 解：（Ⅱ）点为线段的中点，平面， 取的中点，连接，，，连接，连接，如图， 于是，而平面，平面，因此平面， 依题意，为上一点，且满足， 则为中点，又为中点，即有， 而平面，平面，因此平面， 又，，平面，从而平面平面， 又面，则平面，所以点为线段的中点时，平面． 6．如图，在三棱锥中，已知是正三角形，平面平面，，在棱上，且，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）点为棱中点，点在棱上，若满足平面，求． 【解答】证明：（1）在底面中，取的中点，连接， 因，故， 因，故为的中点．又为的中点， 故，则， 是正三角形为的中点，故， 因为平面平面，平面平面， 故平面， 平面，故， 又， 故平面； 解：（2）连接，交于点，连接， 设，因为的中点，为中点， 故为的重心，， 假设已有点，使得平面， 平面，平面平面， 则， 于是， 而，所以， 于是． 7．如图所示，在四棱锥中，四边形是正方形，点，分别是线段，的中点． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得面面，若存在，请找出点并证明；若不存在，请说明理由． 【解答】（1）证明：由四边形为正方形可知，连接必与相交于中点， 故， 平面， 平面． （2）解：线段上存在一点满足题意，且点是中点， 理由如下：由点，分别为，中点可得：， 平面， 平面， 由（1）可知，平面， 且， 故面平面． 8．如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，为的中心，其它四个侧面都是侧棱长为的等腰三角形． （1）求证：平面； （2）在线段上是否存在一点，使二面角？若存在，请指出点的位置并证明，若不存在请说明理由． 【解答】（1）证明：因为在四棱锥中，底面是正方形，为的中心， 连接，，则，连接，