专题8.2 线面垂直专题训练（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.2 线面垂直专题训练 线面垂直方法汇总： 方法一 线面垂直 方法二 面面垂直 方法三 线线垂直 1．如图所示，四棱锥的底面是矩形，，，，点为的中点，与交于点． （1）求证：平面平面； （2）求直线与平面所成角的正切值． 【解答】解：（1）证明：四棱锥的底面是矩形，，点为的中点， ，且． ，，，． ，而平面、平面， 平面． 而平面，平面平面． 2．如图，在直三棱柱中，，点是的中点，点在上，平面． （1）求证：平面平面； （2）当三棱锥的体积最大时，求直线与平面所成角的正弦值． 【解答】解：（1）证明：可取的中点，连接，， 又为的中点，可得， 平面，可得平面， 又平面，，可得平面平面， 所以平面， 又平面平面，可得，即有为的中点， 因为，为的中点，可得， 由直三棱柱中，底面，可得， 由，可得平面， 取的中点，连接，可得，即有平面， 而平面，可得平面平面； 3．如图，在四棱锥中，侧面为等腰直角三角形，底面为直角梯形，，，，，为的中点． （1）求证：； 【解答】（1）证明：连接，由，为中点，得， 又四边形为直角梯形，，， 所以，，则四边形是平行四边形， ， 在中，，，， 则，则， 又平面，平面，， 平面， 又平面，． 4．如图，在三棱柱中，，，为的中点，为等边三角形，直线与平面所成角大小为． （1）求证：平面； 【解答】（1）证明：取中点，连接、， 因为，为的中点，所以，故， 因为为等边三角形，所以， 又因为，，面， 因此平面， 因为平面，所以平面平面， 因为平面平面， 所以直线在平面的射影在直线上，所以直线与平面所成角为，则， 因为，，所以是正三角形，则， 因为为等边三角形，，则， 所以在中，由，得， 则，所以， 因为，，，面， 所以平面，因为平面，所以， 因为，在中，，，所以，又， 所以，即， 又，，平面， 所以平面． 5．如图甲，在矩形中，，为线段的中点，沿直线折起，使得，如图乙． （1）求证：平面； （2）线段上是否存在一点，使得平面与平面所成的角为？若不存在，说明理由；若存在，求出点的位置． 【解答】解：（1）证明：如图所示，取中点， 则由题意可得，且， 由平面图形易得，又， ，， 又，且， 平面，又平面， ，又易知，且， 平面； 6．如图，在底面是菱形的四棱锥中，为中点，，，已知． （1）若，证明：； 【解答】（1）证明：连结，因为为菱形，且，所以为等边三角形， 由于是中点，所以，所以， 又，，， 所以，所以， 在中，由，，，可得，所以， 又因为，、平面，所以面， 又因为面，所以； 7．如图，在四棱锥中，点，分别在棱，上，且三棱锥和均是棱长为2的正四面体，交于点． （1）求证：平面； 【解答】（1）证明：如图，连接，，三棱锥和均是棱长为2的正四面体， 故，且为菱形，为、中点， 所以，所以，所以． 因为，故， 所以，所以， 又，，平面，所以平面． 8．如图，在三棱锥中，，平面平面，，，． （1）证明：平面． 【解答】解：（1）证明：在中，因为，，， 所以，所以，因为，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面，因为平面，所以， 又，，，平面，所以平面． 9．如图，在四棱锥中，底面为菱形，，分别为和的中点，已知，，，． （1）证明：平面平面； 【解答】解：（1）证明：如图，连接，，， 由于，为的中点，则， 又底面为菱形，， 则为等边三角形， 又为的中点，则， 而，平面，平面， 所以平面， 又，则平面， 又平面，则， 而为斜边上的中线，则，则， 又， 则， 所以， 又，平面，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面平面； 10．如图所示，在四棱锥中，，且． （1）求证：平面平面； （2）已知点，是线段上的两点，且，是线段上一点，若二面角与二面角的平面角相等，求的值． 【解答】（1）证明：连接，由，，知，，， 在中，，， 设的中点为，连接，则，，所以四边形为平行四边形， 又，，所以四边形为正方形， 所以，，在中，， 在中，， 所以，又，，，平面， 所以平面，又平面，所以平面平面． 11．如图，在四棱锥中，平面，底面是菱形，，． （1）求证：平面； 【解答】解：（1）底面是菱形，， 平面，平面， ， 又、是平面内的相交直线， 平面． 12．在三棱锥中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的射影为棱的中点，且与底面所成角为，点为线段上一动点． （1）求证：； 【解答】解：（1）证明：连接，为等边三角形，为的中点，则， 因为点在底面上的射影为点，则平面，又平面， ，，、平面， 平面，平面，， 13．如图，在底面为矩形的四棱锥中，底面． （1）证明：平面平面． （2）若，，在棱上，且，求与平面所成角的正弦值． 【解答】（1）证明：由四边形为矩形，可得， 因为底面，且平面，所以． 又因为，且，平面，所以平面， 又由平面