专题8.1 线面平行专题训练（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.1 线面平行专题训练 线面平行常见方法汇总： 方法一 平行传递性证线线平行 方法二 三角形中位线证线线平行 方法三 构造平行四边形证线线平行 方法四 线面垂直的性质证线线平行 方法五 三角形相似比证线线平行 方法六 线面平行性质证明线线平行 方法七 面面平行的性质证线面平行 方法八：面面平行 1．如图，四边形是平行四边形，是平面外一点，、分别是，的中点．求证：平面． 【解答】证明：如图，取的中点，连接，． 、分别是△的边，的中点， ，， 为平行四边形的边的中点， ，，，， 四边形为平行四边形，， 又平面，平面，平面 2．如图，在直三棱柱中，，，点是的中点．求证： （1）平面； 【解答】证明：（1）根据题意，连接，与交于点，连接， 四边形为平行四边形，则为的中点，为的中点，则， 在平面中，则平面； 3．如图所示，在三棱柱中，侧棱底面，，为的中点，，． 求证：平面． 【解答】证明：连接，交于， 由题意可得为的中点，为的中点， 可得为△的中位线，可得， 而面，面， 所以面． 4．如图，在三棱柱中，若，分别是线段，的中点． （1）求证：； （2）在线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，指出的具体位置并证明；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）证明：连接，则为的中点，且为的中点， 为的中位线， ； （2）在上存在点使得平面平面，为的中点，证明如下： 取的中点，连接，，且为的中点， ，且平面，平面， 平面，同理，平面，且，平面，平面， 平面平面． 5．如图，直三棱锥中，，，是边的中点，过，，作截面交于点．求证：． 【解答】证明：如图，在直三棱锥中， 因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 6．如图，已知多面体的底面是边长为2的菱形，底面，，，且． （1）在线段上是否存在点，使得平面； （2）求三棱锥的体积． 【解答】解：（1）存在，理由如下： 如图，分别取，靠近点的三等分点，，连接，，，， 则，所以． 又平面，平面， 所以平面． 因为，，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，所以， 又平面，平面， 所以平面， 且，所以平面平面， 平面， 所以平面． （2）由题意可知为等边三角形，因为底面， 所以平面平面，平面平面， 过点作，所以平面，因为为等边三角形， 所以，则点到平面的距离， ， ． 7．如图，在几何体中，四边形为平行四边形，为的中点，平面平面． （1）证明：平面； （2）证明：． 【解答】证明：（1）连接交于，连接， 因为四边形为平行四边形，所以、互相平分， 又为的中点，所以为三角形的中位线，所以， 因为面，面，所以平面； （2）因为四边形为平行四边形，所以， 因为面，面，所以平面． 因为面，面面．所以． 8．在四棱锥中，为正三角形，四边形为等腰梯形，，，分别为棱，，的中点，且，． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【解答】证明：（1）因为，分别为棱，的中点， 所以， 由四边形为等腰梯形，， 可得， 所以， 而平面，平面， 所以平面； （2）证明：取的中点，连接，， 由为的中位线，可得， 由平面，平面，可得平面； 由，且， 可得四边形为平行四边形，则， 由平面，平面，可得平面， 又，所以平面平面， 而平面，所以平面． 9．如图，四棱锥中，底面是梯形，，，，为等腰直角三角形，，为的中点． （1）求证：平面； 【解答】证明：（1）取的中点，连接，， 因为，分别为，的中点， 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以， 因为，平面，平面， 所以平面； 10．小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：的正方形，、、、均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．证明：平面． 【解答】证明：分别取、的中点、，连接，如图所示： 因为、为全等的正三角形，所以，， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，同理可得平面， 根据线面垂直的性质定理可知，而， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面， 所以平面． 11．如图，是边长为2的等边三角形，四边形为菱形，平面平面，，，．求证：平面． 【解答】证明：因为四边形为菱形，则， 因为平面，平面，所以平面， 因为，平面，平面， 所以平面， 因为， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 12．如图，在四棱锥中，平面底面，底面为平行四边形，． （1）在棱上是否存在点，使得平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由． 【解答】解：（1）如图，连接交于点，则为的中点，取中点为，再连接， 则，又平面，平面， 平面， 故存在的中点，使得平面． 13．如图，在三棱柱中，，分别为棱，的中点．求证：平面平面． 【解答】证明：连接交于点，连接． 由三棱柱可知四边形、均为平行四边形，所以为的