专题8.7 截面问题（强化题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.7 截面问题 作空间几何体截面的常见方法： （1）直接连接法：有两点在几何体的同一个面上，连接该两点即为几何体与截面的交线，找截面就是找交线的过程； （2）作平行线法：过直线与直线外一点作截面，若直线所在的平面与点所在的平面平行，可以通过过点找直线的平行线找到几何体与截面的交线； （3）作延长线找交点法：若直线相交但是立体图形中未体现，可通过作延长线的方法先找到交点，然后借助交点找到截面形成的交线； （4）辅助平面法：若三个点两两都不在一个侧面或者底面中，则在作截面时需要作一个辅助平面. 一．选择题（共13小题） 1．已知正方体的棱长为2，、分别为、的中点，过、的平面所得截面为四边形，则该截面最大面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意，如图：过、的平面所得截面为四边形， 当截面为时，其面积最大，此时，，高， 其面积； 故选：． 2．如图，已知正方体的棱长为2，点是线段的中点，平面经过点，，，则正方体被平面截得的截面面积为　　 A． B． C．4 D． 【解答】解：如图所示： 连接，，由点是线段的中点，可得经过点， 又，，则四边形为平行四边形， 又点，，面， 则平面即为正方体被平面截得的截面， 又，，则截面面积为． 故选：． 3．用一平面去截一长方体，则截面的形状不可能是　　 A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 【解答】解：如图， 用平面去截正方体时最多和六个面相交得六边形， 因此截面的形状可能有：三角形、四边形、五边形、六边形， 不可能为七边形． 故选：． 4．如图所示，在正方体中，如果点是的中点，那么过点、、的截面图形为　　 A．三角形 B．矩形 C．正方形 D．菱形 【解答】解：分别取，的中点，，连接，，，， 如图即为过点、、截正方体所得的截面图形， 由题意可知：且，所以四边形为平行四边形， 所以，又因为且，且， 所以且，所以四边形为平行四边形，所以， 所以，同理，所以四边形为平行四边形， 又因为，所以平行四边形为菱形． 故选：． 5．已知正三棱柱，过底边的平面与上底面交于线段，若截面将三棱柱分成了体积相等的两部分，则　　 A． B． C． D． 【解答】解：由题可知平面与棱柱上底面分别交于，， 则，，显然是三棱台， 设的面积为1，△的面积为，三棱柱的高为， ，解得， 由△，可得． 故选：． 6．在正方体中，，为棱的四等分点（靠近点，为棱的四等分点（靠近点，过点，，作该正方体的截面，则该截面的周长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长到点，使得，连接，交于点，连接，交于点，取的靠近点的四等分点，连接，，，，，如图所示： 由正方体的结构特征可知，， 又，， ，， 四边形为平行四边形，， ， 平面与正方体左侧面的交线为， △，，， 由正方体的结构特征可知，， ，， ，， 四边形为平行四边形， ， 平面与正方体下底面的交线为， ，，， 则平面与正方体前面的面的交线为， 过点，，的平面截正方体的截面为五边， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 该截面的周长为． 故选：． 7．在棱长为的正方体中，是棱的中点，过，，作正方体的截面，则这个截面的面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：设的中点为，则，连接，，，， 则梯形就是过，，正方体的截面， 且，， 梯形的高为，其面积为， 故选：． 8．在长方体中，若，，，分别为，的中点，过点，，作长方体的一截面，则该截面的周长为　　 A． B． C． D． 【解答】解：根据题意可得截面为图中所示四边形， 其中为靠近的四等分点， 所以该截面的周长为， 故选：． 9．已知在直三棱柱中，，分别为，的中点，，，，，如图所示，若过、、三点的平面作该直三棱柱的截面，则所得截面面积为　　 A． B． C． D． 【解答】解：延长，，且与相交于，连接，并与相交于，连接，则四边形为所求的截面， 在中，由，，得， 在△中，由，，得， 因为为的中点，所以由平面几何知识可知，△△， 所以，，即为的中点，所以， 又由，可得△△， 又，，所以， 在中，由，，得，所以， 所以在中，有，，，即， 所以， 在中，为斜边中点，为直角边的三等分点， ， 四边形的面积为， 故选：． 10．如图，直四棱柱的所有棱长均为是侧棱的中点，则平面截四棱柱所得的截面图形的周长是　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，与的延长线交于点，连接与交于点， 如下图所示： ，， 为的中点，则为的中点， 故截面为梯形， 所有棱长均为， ， ， 故梯形的周长为，即平面截四棱柱所得的截面图形的周长为． 故选：． 11．已知正四棱柱中，，，则该四棱柱被过点，，的平面截得的截面面积为　　 A． B．36 C． D． 【解答】解：由题意可知，正四棱柱中，，， 可得，， 在上取一点，使得，如图所示