专题8.4 直线与平面平行的性质与判定（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.4 直线与平面平行的性质与判定 知识点一、基本事实 文字语言 平行于同一条直线的两条直线平行 图形语言 符号语言 直线a，b，c，a∥b，b∥c⇒a∥c 作用 证明两条直线平行 知识点二、空间等角定理 1．定理 文字语言 如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 符号语言 OA∥O′A′，OB∥O′B′⇒∠AOB＝∠A′O′B′或∠AOB＋∠A′O′B′＝180° 图形语言 作用 判断或证明两个角相等或互补 2.推论：如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相等． 知识点三、直线与平面平行的判定定理 文字语言 如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行 符号语言 a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α 图形语言 知识点四、直线与平面平行的性质定理 文字语言 一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行 符号语言 a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b 图形语言 知识点五、平面与平面平行的判定定理 文字语言 如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，那么这两个平面平行 符号语言 a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α⇒β∥α 图形语言 知识点六、两个平面平行的性质定理 文字语言 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行 符号语言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b 图形语言 证明平行四边形 如图，空间四边形中，、、、分别是，，，的中点，求证：四边形是平行四边形． 【解答】证明：如图，连接． 因为是的中位线， 所以， 又因为是的中位线， 所以，． 根据公理4，，且． 所以四边形是平行四边形． 在空间四边形中，、、、分别是边、、、的中点．求证：四边形是平行四边形． 【解答】证明：如图，连接． 因为是的中位线， 所以，． 又因为是的中位线， 所以，． 根据公理4，，且． 所以四边形是平行四边形． 如图所示，空间四边形中，、、、分别为、、、上的点，请回答下列问题： （1）满足什么条件时，四边形为平行四边形？ （2）满足什么条件时，四边形为矩形？ （3）满足什么条件时，四边形为正方形？ 【解答】解：（1）当，，，满足时，四边形为平行四边形， 不妨以，，，分别为所在边的中点，证明如下： ，分别是，的中点， ，同理，． 从而綊，所以四边形为平行四边形． （2）当，，，分别为所在边的中点且时，可得，，所以，所以平行四边形为矩形． （3）当，，，分别为所在边的中点且，可得，，所以，所以平行四边形为矩形，时 ，四边形为正方形． 空间等角定理 如图，和△的对应顶点的连线，，交于同一点，且． （1）求证：，，； （2）求的值． 【解答】（1）证明：，且， ， ，且， ， ，且， ． （2）解：，，且和、和方向相反， ， 同理，，， △， ， ． 如图所示，两个三角形和△的对应顶点连线的所在直线，，交于同一点，且，则 ． 【解答】解：两个三角形和△的对应顶点连线的所在直线，，交于同一点， 且， △， ． 故答案为：． 如图，设和△的三对对应顶点的连线，，相交于一点，且，则的值为 ． 【解答】解：依题意，因为、、相交于一点，且， 由对顶角相等可得，所以△， 则，， △， 所以． 故答案为：． 直线与平面平行的判定定理 如图，点，，，，是正方体的顶点或所在棱的中点，则满足平面的有　　 A． B． C． D． 【解答】解：对于，由为上底面的面对角线，与下底面过的面对角线平行， 所以与平面相交，故错误； 对于，由中位线定理可得，平面，平面，可得平面，故错误； 对于，取中点，连接，，，可得截面为正六边形，即有平面，故错误； 对于，连接，设与的交点为，连接，由中位线定理可得， 而平面，平面，则平面，故正确． 故选：． 如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线MN∥平面ABC的是（　　） A． B． C． D． 【解答】解：对于A，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥EF∥AC，可得直线MN∥平面ABC，能满足； 对于B，作出完整的截面ABDCEF，由正方体的性质可得MN∥BF，可得直线MN∥平面ABC，能满足； 对于C，作出完整的截面ABCD，由正方体的性质可得MN∥BD，可得直线MN∥平面ABC，能满足； 对于D，作出完整的截面，如图ABNMHC，可得MN在平面ABC内，不能得出平行，不能满足． 故选：D． 在如图所示的正方体或正三棱柱中，，，分别是所在棱的中点，则满足直线与平面平行的是　　 A． B． C． D． 【解答】解：选项中