专题8.5 直线与平面垂直的性质与判定（基础题型）-【题型分层练】2022-2023学年高一数学知识梳理与题型分层精练（人教A版2019必修第二册）

专题8.5 直线与平面垂直的性质与判定 知识点一、异面直线所成的角 1．已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． 2．空间两条直线所成角α的取值范围是0°≤α≤90°. 知识点二、直线与直线垂直 如果两条异面直线所成的角是直角，那么我们就说这两条异面直线互相垂直．直线a与直线b垂直，记作a⊥b. 知识点三、直线与平面垂直的定义 1．直线与平面垂直的定义及画法 定义 一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α互相垂直 记法 l⊥α 有关概念 直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面，它们唯一的公共点P叫做垂足 图示 画法 画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直 2.过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条，该点与垂足间的线段叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离． 知识点四、直线与平面垂直的判定定理 文字语言 如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直 符号语言 m⊂α，n⊂α，m∩n＝P，l⊥m，l⊥n⇒l⊥α 图形语言 知识点五、直线与平面所成的角 有关概念 对应图形 斜线 一条直线与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，如图中直线PA 斜足 斜线和平面的交点，如图中点A 射影 过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线，过垂足和斜足的直线叫做斜线在这个平面上的射影，如图中斜线PA在平面α上的射影为直线AO 直线与平面所成的角 定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，如图中∠PAO； 规定：一条直线垂直于平面，它们所成的角是90°；一条直线和平面平行，或在平面内，它们所成的角是0° 取值范围 设直线与平面所成的角为θ，则0°≤θ≤90° 知识点六、直线与平面垂直的性质定理 文字语言 垂直于同一个平面的两条直线平行 符号语言 a⊥α，b⊥α⇒a∥b 图形语言 知识点七、二面角 1．从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面． 2．画法： 3．记法：二面角α－l－β或二面角α－AB－β或二面角P－l－Q或二面角P－AB－Q. 4．二面角的平面角： (1)在二面角α－l－β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角，如图． (2)二面角的平面角α的取值范围是0°≤α≤180°.平面角是直角的二面角叫做直二面角． 知识点八、平面与平面垂直的定义和判定 1．平面与平面垂直的定义 (1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，记作α⊥β. (2)画法： 2．面面垂直的判定定理：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直． 符号语言：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. 知识点九、平面与平面垂直的性质定理 文字语言 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直 符号语言 α⊥β，α∩β＝l，a⊂α，a⊥l⇒a⊥β 图形语言 异面直线所成的角 在正方体中，，，分别为，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：连接，，，则， 则即为异面直线与所成角， 设正方体的棱长为2，则，， 则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 故选：． 在长方体中，，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：如图，以点为原点，边，，所在的直线分别为，，轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则： ，， ， ，， ． 故选：． 如图，在长方体中，已知，，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为　　 A． B． C． D． 【解答】解：取的中点，连接，，， 根据题意易知， 为异面直线与所成的角或其补角， 又，， 由余弦定理得． 故选：． 直线与平面垂直的判定定理 已知直线，和平面，如果，那么“”是“”的　　 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【解答】解：“”不能推出“”，充分性不成立， ，， 则，必要性成立， 故“”是“”的必要不充分条件． 故选：． 已知，，为三条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是　　 A．，， B．， C．， D．， 【解答】解：若，，，则与可能平行与可能异面，故错误； 若，，则或，故错误； 若，，则或，故错误； 若，根据线面垂直的判定方法，易得，故正确； 故选：