第三章 圆专项拓展训练（四） 2022-2023学年北师大版数学九年级下册

《第三章　圆》专项拓展训练（四） 专项一 证明圆的切线的两种方法 类型1　直线与圆有公共点 1. [2022南充中考]如图,AB为☉O的直径,点C是☉O上一点,点D是☉O外一点,∠BCD=∠BAC,连接OD交BC于点E. (1)求证:CD是☉O的切线. (2)若CE=OA,sin∠BAC=,求tan∠CEO的值. 2. [2021衡阳中考]如图,AB是☉O的直径,D为☉O上一点,E为的中点,点C在BA的延长线上,且∠CDA=∠B. (1)求证:CD是☉O的切线. (2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长. 类型2　不确定直线与圆是否有公共点 3. 如图,O为正方形ABCD对角线上一点,BC与以O为圆心,OA长为半径的☉O相切于点M. (1)求证:CD与☉O相切. (2)若正方形ABCD的边长为1,求☉O的半径. 4. 如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AE⊥BC于点E,∠ADC的平分线交AE于点O,以点O为圆心,OA为半径的圆经过点B,交BC于另一点F. (1)求证:CD与☉O相切. (2)若BF=24,OE=5,求tan∠ABC的值. 专项二 与圆有关的不规则图形面积的求法 类型1　利用“和差法”求面积 1. [2020山西中考]中国美食讲究色香味美,优雅的摆盘造型也会让美食锦上添花.图1中的摆盘,其形状是扇形的一部分,图2是其几何示意图(阴影部分为摆盘),通过测量得到AC=BD=12 cm,C,D两点之间的距离为4 cm,圆心角为60°,则图中摆盘的面积是 (　　) A.80π cm2 B.40π cm2 C.24π cm2 D.2π cm2 2. [2021吉林中考]如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=2.以点C为圆心,CB长为半径画弧,分别交AC,AB于点D,E,则图中阴影部分的面积为　　　　.(结果保留π) 类型2　利用“等积法”求面积 3. 如图,点A是半径为2的☉O外一点,OA=4,AB是☉O的切线,点B为切点,弦BC∥OA,连接AC,求图中阴影部分的面积. 类型3　利用“割补法”求面积 4. [2021枣庄中考]如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点,以C为圆心,2为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心,1为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为(　　 ) A.π-1 B.π-3 C.π-2 D.4-π 5. [2020泰州中考]如图,半径为10的扇形AOB中,∠AOB=90°,C为上一点, CD⊥OA,CE⊥OB,垂足分别为D,E.若∠CDE为36°,则图中阴影部分的面积为(　　) A.10π B.9π C.8π D.6π 6. 如图,正方形网格中每个小正方形的边长都是1,阴影部分图案是以格点为圆心,1为半径的圆弧围成,则阴影部分的面积是　　　　.(结果用含π的式子表示)  专项三 与圆有关的综合问题 1. [2021河南省实验中学二模]如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,∠B=60°,以边AC上一点O为圆心,OA长为半径作☉O,☉O恰好经过边BC的中点D,且与边AC相交于另一点F. (1)求证:BD是☉O的切线. (2)若BC=2,E是上一动点,连接AE,AD,DE.填空: ①当的长度是　　　　时,四边形ABDE是菱形;  ②当的长度是　　　　时,△ADE是直角三角形.  2. [2020江西中考]已知∠MPN的两边分别与☉O相切于点A,B,☉O的半径为r. (1)如图1,点C在点A,B之间的优弧上,∠MPN=80°,求∠ACB的度数. (2)如图2,点C在圆上运动,当PC最大时,要使四边形APBC为菱形,∠APB的度数应为多少?请说明理由. (3)若PC交☉O于点D,求(2)中对应的阴影部分的周长.(用含r的式子表示) 参考答案 专项一 证明圆的切线的两种方法 1. (1)证明:如图,连接OC, ∵AB是直径,∴∠ACB=90°,∴∠A+∠B=90°, ∵OC=OB,∴∠OCB=∠OBC, ∵∠BCD=∠BAC,∴∠OCB+∠BCD=90°, ∴OC⊥CD, 又∵OC为☉O的半径, ∴CD是☉O的切线. (2)解:如图,过点O作OH⊥BC于点H,则OH∥AC. 由sin∠BAC==,可设BC=4k,AB=5k,则AC=3k,AO=OC=CE=2.5k. ∵OH⊥BC,∴CH=BH=2k, ∴EH=CE-CH=2.5k-2k=0.5k, ∵OA=OB,OH∥AC,∴OH为△ABC的中位线, ∴OH=AC=1.5k, ∴tan∠CEO===3. 2. (1)证明:如图,连接OD,则OD=OB, ∴∠OBD=∠ODB. ∵∠OBD=∠CDA,∴∠ODB=∠CDA. ∵AB是☉O的直径,∴∠ADB=90°, ∴∠OD