专题11.2 反比例函数的参数法与k的几何意义-2022-2023学年八年级数学下册重难题型全归纳及技巧提升专项精练（苏科版）

专题11.2 反比例函数的参数法与k的几何意义 知识储备 “参数法”是一种解数学题的方法,它指在解决问题的过程中,通过适当引入与题目研究的问题发生联系的新变量(即为参数),然后以此作为媒介,再进行分析和综合,进而解决问题.运用参数解题有化繁为简之功效,因此,适当地引入参数,对提高解题能力,进一步学好数学,都会产生积极的作用. “参数法”解决反比例函数问题基本思路：①设参数；②用参数表示点的坐标；③用参数表示线段的长；④用参数表标图形的面积（周长）；⑤利用等量关系建立方程或不等式；⑥解方程（或化简）；⑦解答。 重要题型 专题1. 反比例函数的参数解法 题型1、设一个参数求解问题 例1．（2022·成都·中考模拟）设双曲线与直线交于，两点（点在第三象限），将双曲线在第一象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，将双曲线在第三象限的一支沿射线的方向平移，使其经过点，平移后的两条曲线相交于点，两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，为双曲线的“眸径”.当双曲线的眸径为6时，的值为__________. 【答案】 【详解】以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，联立直线AB及双曲线解析式成方程组，通过解方程组可求出点A、B的坐标，由PQ的长度可得出点P的坐标（点P在直线y=-x上找出点P的坐标），由图形的对称性结合点A、B和P的坐标可得出点P′的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可得出关于k的一元一次方程，解之即可得出结论． 详解：以PQ为边，作矩形PQQ′P′交双曲线于点P′、Q′，如图所示． 联立直线AB及双曲线解析式成方程组，，解得：，， ∴点A的坐标为（-，-），点B的坐标为（，）． ∵PQ=6，∴OP=3，点P的坐标为（-，）． 根据图形的对称性可知：AB=OO′=PP′，∴点P′的坐标为（-+2，+2）． 又∵点P′在双曲线y=上，∴（-+2）•（+2）=k，解得：k=．故答案为． 点睛：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征、矩形的性质以及解一元一次方程，利用矩形的性质结合函数图象找出点P′的坐标是解题的关键． 变式1．（2023·福建·模拟预测）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A，B两点，点P在以为圆心，2为半径的上，Q是的中点，已知长的最大值为3，则k的值为______ 【答案】 【分析】连接，根据中位线定理可得长的最大值为，当过圆心C时，最长，过B作轴与D，设，则 即 根据勾股定理可得列出方程求出点B的坐标，代入反比例函数解析式即可求解． 【详解】解：连接，由对称性得：，而Q是的中点，∴ ∵的长的最大值为3，则长的最大值为，如图所示： 当过圆心C时，最长，过B作轴与D，，，B在直线上， 设，则 即 在 中，由勾股定理得： 整理得：，解得：（舍去），或，∴ ， ∵B在反比例函数的图像上， 故答案为 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数综合题，考查反比例函数图象上点的坐标特征，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理，三角形的中位线的性质，圆的基本性质等，综合性比较强，难度较大． 变式2．（2023·广西八年级课时练习）如图，正比例函数与反比例函数的图像交于点A，另有一次函数与、图像分别交于B、C两点（点C在直线的上方），且，则__________． 【答案】 【分析】设直线与轴交于点，过点作轴于点，过点作于点，易得是等腰三角形，是含的直角三角形，设，则可表达点的坐标，根据题干条件，建立方程，再根据点在反比例函数上，可得出结论． 【详解】解：如图，设直线与轴交于点，过点作轴于点， 令，则，∴，令，∴， ∴，∴，∴是等腰三角形， ∵，，∴， ∴，∴，过点作于点， ∴，设，则，，∴， ∵，∴，则，即：， ∵点在反比例函数上， ∴；故答案为：． 【点睛】本题属于反比例函数与一次函数交点问题，等腰三角形的判定与性质，含的直角三角形等相关知识，设出参数，得出方程是解题关键． 变式3. （2022·江苏南京八年级月考）如图，正方形ABCD的顶点A，B分别在x轴和y轴上，与反比例函数的图象恰好交于BC的中点E，若OB＝2OA，则S△ABO的值为_______． 【答案】12 【分析】如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，设OA＝a，OB＝2a，通过证明可得BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，再根据中点的性质可得E(a，1.5a),把点E代入双曲线得解得，即． 解：如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N， , ∵四边形ABCD为正方形， ，在和中 ∴设OA＝a，OB＝2a，则BN＝AM＝2a，CN＝BM＝a，∴点C坐标为（2a，a）， ∵E为BC的中点，B（0，2a