7.3.2离散型随机变量的方差 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.3 离散型随机变量的数字特征 第七章 随机变量及其分布 7.3. 离散型随机变量的方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 则X的数学期望（或均值）为 E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 若X服从两点分布，则E(X)=_____ p 数学期望的线性性质:E(aX＋b)=__________ aE(X)＋b 1、离散型随机变量取值的平均水平——数学期望 2、求离散型随机变量均值的步骤： 复习回顾： (1)确定随机变量取值 (2)求概率 (3)写分布列 (4)求均值 均值E(X)刻画的是随机变量X取值的“平均水平”. 均值在实际中有着广泛的应用，如在成绩预测、消费预测、工程方案预测、产品合格率预测、投资收益预测中，都可以通过随机变量的均值来进行估计.（决策问题） 离散型随机变量的数字特征——一组数据的均值和方差 样本均值： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 反映这组数据相对于平均值的集中程度的量 例如，要了解某班同学在一次数学测验中的总体水平，很重要的是看平均分；要了解某班同学数学成绩是否“两极分化”则需要考察这个班数学成绩的方差。 问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 如何评价这两名同学的射击水平? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 通过计算可得， 由于两个均值相等，所以用均值不能区分这两名同学的射击水平. 评价射击水平，除了要了解击中环数的均值外，还要考虑稳定性，即击中环数的离散程度. E(X)= 8 ；E(Y)=8 思考：怎样定量刻画离散型随机变量取值的离散程度? 类似于这个概念,我们可以定义随机变量的方差. 样本数据的均值和方差 样本均值： 样本方差： 已知一组样本数据：x1，x2，…，xn 离散型随机变量取值的方差 X x1 x2 ‧‧‧ xn P p1 p2 ‧‧‧ pn 设离散型随机变量X的分布列如下表所示. 则称：D(X)=(x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2 p2＋‧ ‧ ‧＋(xn－E(X))2pn . 为随机变量X的方差，用D(X)表示. 并称为随机变量X的标准差，记为σ(X). 随机变量的方差和标准差都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度，反映了随机变量取值的离散程度. 方差或标准差越小，随机变量的取值越集中； 方差或标准差越大，随机变量的取值越分散. 类比 5 问题1 从两名同学中挑出一名代表班级参加射击比赛. 根据以往的成绩记录，甲、乙两名同学击中目标靶的环数X和Y的分布列如下表所示. 分别计算两位同学的方差? X 6 7 8 9 10 P 0.09 0.24 0.32 0.28 0.07 Y 6 7 8 9 10 P 0.07 0.22 0.38 0.30 0.03 已知：E(X)= 8 ；E(Y)=8 ∴随机变量Y的取值相对更集中，即乙同学的射击成绩相对更稳定. 证明 如果X是一个离散型随机变量，则D(aX＋b)=a2D(X)(其中a, b为常数) 证明：设X的分布列为： 所以，下面的结论成立： X x1 x2 … xn P p1 p2 … pn 已知：E(aX+b)＝ aE(X) +b D(aX+b)＝(ax1+b－E(aX+b))2p1＋(ax2+b－E(aX+b))2p2＋… ＋(axi+b－E(aX+b))2·pi ＋…＋ (axn+b－E(aX+b))2pn ＝(ax1－aE(X))2p1＋(ax2－aE(X))2p2＋…＋(axi－aE(X))2·pi ＋…＋ (axn－aE(X))2pn ＝a 2[ (x1－E(X))2p1＋(x2－E(X))2p2＋…＋(xi－E(X))2·pi ＋…＋ (xn－E(X))2pn] ＝a 2D(X) D(aX＋b)=a2D(X) 离散型随机变量X的均值与方差的性质: 均值的性质： 方差的性质： 标准差的性质： 解： 1. 已知随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 0.2 0.3 0.4 0.1 求D(X)和σ(2X＋7). 课本70页 2.若随机变量X满足P（X＝c）＝1，其中c为常数，求E(X)和D(X) 解： X c P 1 离散型随机变量X的分布列为： E(X)＝c×1＝c D(X)＝(c－c)2×1＝0 课本70页 在方差的计算中，为了使运算简化，还可以用下面的结论