精品解析：湖南省长沙市长郡中学2022-2023学年高一下学期期中数学试题

长郡中学2023年上学期高一期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，是两个不共线向量，若向量与向量共线，则（　　） A. B. C. D. 2. 定义：若，则称复数是复数的平方根.根据定义，复数的平方根为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 与向量垂直的单位向量为（ ） A. B. 或 C. D. 或 4. 若一个球的外切正方体的表面积等于6 cm2，则此球的体积为（ ） A. cm3 B. cm3 C. cm3 D. cm3 5. 在三棱锥中，平面，，，，则三棱锥外接球半径为（ ） A 3 B. C. D. 6 6. 下列命题正确的为（ ） ①若在平面外，它的三条边所在的直线分别交于P、Q，R，则P，Q，R三点共线； ②若三条直线a，b、c互相平行且分别交直线于A、B、C三点，则这四条直线共面； ③已知a，b，c为三条直线，若a，b异面，b，c异面，则a，c异面； ④已知a，b，c为三条直线，若，，则. A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①② 7. 如图，在中，已知，，，、边上的两条中线，相交于点，则的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，某人用长的绳索，施力，把重物沿着坡度为30°的斜面向上拖了，拖拉点在竖直方向距离斜面的高度为，则此人对该物体所做的功为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分） 9. 已知为复数，是的共轭复数，则下列命题一定正确的是（ ） A. 若为纯虚数，则 B. 若，则 C. 若，则的最大值为2 D. 10. 关于直线，与平面，，以下四个命题中真命题是 A. 若，且，则 B. 若，且，则 C. 若，且，则 D. 若，且，则 11. 一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论，其中正确的是（ ） A. B. 与所成的角为60° C. 与是异面直线 D. 平面 12. 已知两个不相等的非零向量,，两组向量,,,,和,,,,均由2个和3个排列而成.记，表示所有可能取值中的最小值.则下列命题中真命题为（ ） A. 可能有5个不同的值 B. 若，则与无关 C. 若，则 D. 若，，则与的夹角为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 如图，将一个长方体沿着相邻三个面的对角线截出一个棱锥，则此棱锥的体积与剩下的几何体体积的比是______. 14. 已知向量 , ，则向量的模的最大值是________. 15. 在复平面内，为原点，向量，对应复数为，将绕点沿逆时针方向旋转，且将向量的模变为原来的倍，得向量，此时向量对应的复数为.现有一平行四边形，如图，，，，，则点直角坐标为______. 16. 如图，在直三棱柱中，是等边三角形，，D，E，F分别是棱，，的中点，则异面直线与所成角的余弦值是______. 四、解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知复数，，其中是实数． （1）若，求实数的值； （2）若是纯虚数，是正实数，求． 18. 某校学生利用解三角形有关知识进行数学实践活动.处有一栋大楼，某学生选，两处作为测量点，测得距离为，，，在处测得大楼楼顶的仰角为75°. （1）求两点间的距离； （2）求大楼的高度. 19. 已知在直角三角形中，，（如图所示） （1）若以为轴，直角三角形旋转一周，求所得几何体的表面积. （2）一只蚂蚁在问题（1）形成的几何体上从点绕着几何体的侧面爬行一周回到点，求蚂蚁爬行的最短距离. 20. 在锐角中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知边，且. （1）若，求的面积； （2）记边中点为，求的最大值，并说明理由. 21. 如图所示，点是所在平面上一点，并且满足，已知，，. （1）若是的外心，求、的值； （2）如果是的平分线上某点，则当达到最小值时，求的值. 22. 如图,在四棱锥中,底面是菱形,,,,底面,,点在棱上,且 （1）证明：面面; （2）求二面角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长郡中学2023年上学期高一期中考试 数学 时量：120分钟 满分：150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 设，是两个不共线的向量，若向量与向量共线，则（　　） A. B. C. D. 【答案】