8.5.3 平面与平面平行的性质(第2课时)-【优课堂】2022-2023学年高一数学下学期同步精讲课件(人教A版2019必修第二册)

8.5.3 平面与平面平行的性质 （第2课时） 新知探索 下面我们研究平面与平面平行的性质，也就是以平面与平面平行为条件，探究可以推出哪些结论. 根据已有的研究经验，我们先探究两个平行平面内的直线具有什么位置关系. 如图，借助长方体模型，我们看到，所在的平面与平面平行，所以与平面没有公共点.也就是说，与平面内的所有直线没有公共点.因此，直线与平面内的所有直线要么是异面直线，要么是平行直线. 新知探索 分别位于两个平行平面内的两条直线什么时候平行呢？我们依然依据基本事实的推论进行分析：如果，，，且，那么过有且只有一个平面.这样，我们可以把直线看成是平面与平面的交线.于是可以猜想：两个平行平面同时与第三个平面相交，所得的两条交线平行. 下面，我们来证明这个结论. 如图，平面，平面分别与平面相交于直线. ∵，， ∴，. 又，∴没有公共点. 又同在平面内，∴. 新知探索 这个定理告诉我们，可以由平面与平面平行得出直线与直线平行. 如果直线不在两个平行平面内，或者第三个平面不与这两个平面相交，以两个平面平行为条件，你还能得出哪些结论？ 我们把这个结论作为两个平面平行的性质定理: 定理 两个平面平行，如果另一个平面与这两个平面相交，那么两条交线平行. 新知探索 辨析1.判断正误. (1)若平面平面，平面，平面，则.( ) (2)若，则平面内有无数条互相平行的直线平行于平面.( ) (3)夹在两平行平面间的平行线段相等.( ) 答案：×，√，√. 辨析2.平面与圆台的上、下底面分别相交于直线，，则的位置关系是( ). A.平行 B.相交 C.异面 D.平行或异面 答案：A. 例析 例5.求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等. 如图，，，且，，，，求证. 证明：过平行线，作平面，与平面和分别相交于和. ∵， ∴. 又 ∴四边形是四边形. ∴ 新知探索 从本节的讨论可以看到，由直线与直线平行可以判定直线与平面平行；由直线与平面平行的性质可以得到直线与直线平行；由直线与平面平行可以判定平面与平面平行；由平面与平面平行的定义及性质可以得到直线与平面平行、直线与直线平行.这种直线、平面之间位置关系的相互转化是立体几何中的重要思想方法. 直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行 判定 判定 性质 练习 题型一：平面与平面平行的性质 例2.如图所示，两条异面直线与两平行平面分别交于点，和，，点分别是的中点.求证：平面. 证明：如图，过点作交于点，取的中点，连接. ∵，∴，确定平面. 则平面，平面. ∵，∴. 又分别为的中点， ∴.又，，∴. ∴，∴平面. 又平面，∴平面. 练习 方法技巧： 应用平面与平面平行的性质定理的基本步骤 定条件 审题看是否有平面与平面平行 找平面 找(或作)第三个平面与已知两个平面相交 定交线 确定交线位置 得平行 得两条交线互相平行 练习 变1.如图所示，是三角形所在平面外的一点，平面平面，分别交线段，，于，，.若，则与的面积比为( ). A.2:5 B.2:7 C.4:49 D.9:25 解：∵平面平面，，平面， ∴.∴ 又∵， ∴ 同理，. ∴，∴.故选C. 答案：C. 练习 题型二：平行关系的综合应用 例2.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点. (1)求证：平面；(2)求的长； 证明(1)：如图，连接. ∵四边形是正方形，且是的中点， ∴是的中点. 又是的中点，∴. 又平面，平面，∴平面. 解(2)：由(1)易知 练习 例2.如图，在棱长为的正方体中，，，，分别是，，，的中点. (3)求证：平面. 证明(3)：(法一).取的中点，连接，， 则有且. 又，且，∴，且. ∴四边形为平行四边形.∴. 又平面，平面，∴平面. (法二).取的中点，连接，，则有， 又，，平面，，平面，∴平面平面. 又平面，∴平面. 练习 方法技巧： 解决平行关系的综合问题的策略 (1)在遇到线面平行时，常需作(或找)出过已知直线与已知平面相交的辅助平面，以便运用线面平行的性质. (2)线线平行、线面平行、面面平行是一个有机的整体，要灵活应用，实现相互联系、相互转换.在解决立体几何中的平行问题时，一般都要用到平行关系的转化.转化思想是解决这类问题的最有效的方法. 练习 变2.在正方体中，如图. (1)求证：