专题07 全等三角形证明方法：半角模型【考点串讲+热点题型专训】-2022-2023学年七年级数学下学期期中期末考点大串讲（北师大版）

专题07 全等三角形证明方法——半角模型 基本模型： （1）条件：如图，正方形，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. （2）条件：如图，为等边三角形，是等腰三角形，，，， 作法：在延长线上截取，使得，连接， 结论：①；②；③. 例题精讲： 例1．已知：正方形中，，绕点A顺时针旋转，它的两边分别交，（或 它们的延长线）于点M，N． （1）当绕点A旋转到时（如图1），求证：； （2）当绕点A旋转到时（如图2），则线段，和之间数量关系是 　 　； （3）当绕点A旋转到如图3的位置时，猜想线段，和之间又有怎样的数量关系呢？并对你的猜想加以说明． 例2．探究： （1）如图1，在正方形中，E、F分别是、上的点，且，试判断、与三条线段之间的数量关系，直接写出判断结果：　 　； （2）如图2，若把（1）问中的条件变为“在四边形中，，，E、F分别是边、上的点，且”，则（1）问中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由； （3）在（2）问中，若将绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到、延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则（1）问中的结论是否发生变化？若变化，请给出结论并予以证明． 例3．已知，如图，在四边形中，，，E，F分别是线段、上的 点，且．求证：． 例4．【感知】如图①，点M是正方形的边上一点，点N是延长线上一点，且， 易证，进而证得（不要求证明） 【应用】如图②，在正方形中，点E、F分别在边、上，且．求证：． 【拓展】如图③，在四边形中，，，，点E、F分别在边、上，且，若，，则四边形的周长为　 　． 例5．在等边三角形的两边、所在直线上分别有两点M、N，P为外一点，且 ，，．探究：当点M、N分别在直线、上移动时，， ，之间的数量关系． （1）如图①，当点M、N在边、上，且时，试说明． （2）如图②，当点M、N在边、上，且时，还成立吗？ 答：　 　．（请在空格内填“一定成立”“不一定成立”或“一定不成立”）． （3）如图③，当点M、N分别在边、的延长线上时，请直接写出，，之间的数量关系． 专练过关： 1．（1）如图①，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点， 且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　； （2）如图②，在四边形中，，，E，F分别是边，上的点，且，（1）中的结论是否仍然成立？请写出证明过程； （3）在四边形中，，，E，F分别是边，所在直线上的点，且．请直接写出线段，，之间的数量关系：　 　． 2．如图，在四边形中，，，点E，F分别是，上的 点，且，若，求的度数． 3．已知四边形是正方形，M、N分别是边，上的动点，正方形的边长为4cm． （1）如图①，O是正方形对角线的交点，若，求四边形的面积； （2）如图②，若，求的周长． 4．（1）阅读理解： 如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围． 解决此问题可以用如下方法： 延长到点E使，再连接，这样就把，，集中在中，利用三角形三边的关系可判断线段的取值范围是 　 　；则中线的取值范围是 　 　； （2）问题解决： 如图②，在中，D是边的中点，于点D，交于点E，交于点F，连接，此时：　 　（填“＞”或“＝”或“＜”）； （3）问题拓展： 如图③，在四边形中，，，，以C为顶点作，边，分别交，于E，F两点，连接，此时：　 　（填“＞”或“＝”或“＜“）； （4）若在图③的四边形中，，，，且（3）中的结论仍然成立，则　 　（用含的代数式表示） 5．如图，正方形中，M为上除点B、C外的任意一点，是等腰直角三角形，斜边与 交于点F，延长与的延长线交于点E，连接、． （1）求证：； （2）求的度数． 6．在等边的两边、所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且， ，．探究：当M、N分别在直线、上移动时，、、之间的 数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系． （1）如图1，是周长为9的等边三角形，则的周长Q＝　 　； （2）如图2，当点M、N边、上，且时，、、之间的数量关系是　 　；此时＝　 　； （3）点M、N在边、上，且当时，猜想（2）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明． 7．如图，是等边三角形，D是边上一点（点D不与点B，C重合），作，使角的 两边分别交边，于点E，F，且． （1）如图①，若，则　 　度； （2）如图②，D是边上一点（点D不与点B，C重合），求证：； （3）如图③，若D是边的中点，且，则四边形的周长为 　 　． 8．如图，在中，，，点O为中点，点E为边上一点， ，交于点F，求四边形的面积．