专题02一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法）（3个知识点7种题型2个易错点中考4种考法）-【帮课堂】2023-2024学年九年级数学上册同步学与练（苏科版）

专题02一元二次方程的解法（直接开平方法、配方法） （3个知识点7种题型2个易错点中考4种考法） 【目录】 倍速学习五种方法 【方法一】 脉络梳理法 知识点1：直接配平方法（重点） 知识点2：配方法（重点） 知识点3：配方法的应用（难点） 【方法二】 实例探索法 题型1：用直接开平方法解一元二次方程 题型2：用配方法解一元二次方程 题型3：用配方法求字母的值 题型4：用用配方法求代数式的最大（最小）值 题型5：直接开平方法在实际生活中的应用 题型6：用配方法判断三角形的形状 题型7：利用换元法解方程 【方法三】 差异对比法 易错点1混淆方程配方与代数式配方 易错点2 配方时，没有进行恒等式变形而导致错误 【方法四】 仿真实战法 考法1．解一元二次方程-直接开平方法 考法2：解一元二次方程-配方法 考法3：换元法解一元二次方程 考法4：配方法的应用 【方法五】 成果评定法 【知识导图】 【倍速学习四种方法】 【方法一】脉络梳理法 知识点1：直接配平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 例1.（2022秋•江都区校级期末）方程x2＝4的解是（　　） A．x1＝x2＝2 B．x1＝x2＝﹣2 C．x1＝2，x2＝﹣2 D．x1＝4，x2＝﹣4 【分析】根据直接开平方解方程即可． 【解答】解：直接开平方得：x＝±2， ∴方程的解为：x1＝2，x2＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题考查了用直接开平方法解一元二次方程，特别注意：一个正数的平方根有两个，它们互为相反数． 知识点2：配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 例2．用配方法解一元二次方程. 解： 移常数项 两边配上一次项系数一半的平方 转化为的形式 转化为的形式 解得 求解 所以原方程的根是． 例3.如何用配方法解方程 解： 移常数项 方程两边同除以二次项系数 两边配上一次项系数一半的平方 转化为的形式 开平方 解得 求解 所以原方程的根是. 知识点3：配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【方法二】实例探索法 题型1：用直接开平方法解一元二次方程 例4.解方程(x-3)2=49． 【答案与解析】把x-3看作一个整体，直接开平方，得x-3=7或x-3=-7． 由x-3=7，得 x=10． 由x-3=-7，得 x=-4． 所以原方程的根为x=10或x=-4． 【总结升华】应当注意，如果把x+m看作一个整体，那么形如(x+m)2=n(n≥0)的方程就可看作形如x2=k的方程，也就是可用直接开平方法