4.4.2对数函数图像及其性质（1）课件-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

4.4.2 对数函数图像及其性质（1） 对数函数的定义： 函数 y＝logax (a＞0且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是 (0,＋∞). 知识回顾 对数函数的图象： x y O x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y x 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 y -3 -2 -1 0 1 2 3 x y O 5 作者：湛江市第五中学钟景荣 作者：湛江市第五中学钟景荣 x y o 1 2 3 4 5 -1 -2 -3 -4 -5 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 y=log2x y=x 选取底数a (a>0, 且a≠1)的若干个不同的值,在同一直角坐标系内画出相应的对数函数的图象，观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数y=logax (a>0, 且a≠1)的值域和性质吗？ 函数y=x (a>0, 且a≠1)的图象和性质 y=log3x y=log4x y=x y=x 当x0时，图象无限逼近y轴，但永不相交. 对数函数的图象与性质 研究对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象和性质时，底数要分为______与__________两种情况，如下表： a＞1 0＜a＜1 3. 对数函数的性质： a＞1 0＜a＜1 图 象 性 质 x y O 定义域：(0, +∞)； 值域：R 过点(1, 0)，即当x＝1时，y＝0. 在(0,+∞)上是减函数 在(0,+∞)上是增函数 x y O 1 1 x y O 性质（5）： ①上下比较：在直线x＝1的右侧，a>1时，a越大，图象越靠近x轴；0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴． ②左右比较：(比较图象与y＝1的交点)交点的横坐标越大，对应的对数函数的 底数越大． ( 7 ) 在第一象限，底数 a 越大，图像越高，简称：底大图高 例3.比较下列各题中两个值的大小： (1) (2)，； (3). 解：(1)∵在定义域上单调递增 而，∴. (2)∵在定义域上单调递减 而，∴. (3)∵ ∴当时，在定义域上单调递增 而,∴ . 当时，在定义域上单调递减 而,∴ . 12 3.练习 比较下列各题中两个值的大小： (1) lg0.6 , lg0.8 ; (2) log0.56 , log0.54 ; (3) logm5 , logm7 . 解：(1) lg0.6 和 lg0.8可看作函数lgx的两个函数值. 因为底数10>1 , 对数函数lgx是增函数，且0.6<0.8，所以 lg0.6 < lg0.8 . (2) log0.56 和 log0.54可看作函数log0.5x的两个函数值. 因为底数0.5<1 , 对数函数log0.5x是减函数, 且6>4, 所以 log0.56 < log0.54 . (3) logm5 和 logm7可看作函数logmx的两个函数值. ①当m>1时 , 对数函数logmx是增函数，且5<7，所以 logm5 < logm7 . ②当0<m<1时 , 对数函数logmx是减函数，且5<7，所以 logm5 > logm7 . 例4.溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (1)根据对数函数性质及上述的计算公式，说明溶液酸碱度与溶液中氢离子的浓度之间的变化关系； 解(1)：根据对数的运算性质，有 在上，随着的增大，减小，相应地，也减小，即 减小.所以，随着的增大， 减小，即溶液中氢离子的浓度越大，溶液的酸性就越强. 例4.溶液酸碱度的测量. 溶液酸碱度是通过计算的.的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升. (2)已知纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，计算纯净水的. 解(2)：当时， 所以纯净水的是7. 前面根据指数与对数的关系，由得到由函数定义知. 这样，由指数函数可得到对数函数. 这个对数函数的定义域、值域分别是指数函数的值域和定义域.这时就说函数是函数的反函数. 通常，我们用表示自变量，表示函数.为此，把写成这样，对数函数是指数函数的反函数.同时，指数函数也是对数函数的反函数. 因此，指数函数与对数函数 互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 一般地，指数函数与对数函数互为反函数，它们的定义域与值域正好互换. 19 作者：湛江市第五中学钟景荣 课堂总结 对数函数的定义： 一般地，函数y=logax (a>0, 且a≠1)叫做对数函数(logarithmic