4.2.2等差数列的前n项和公式 课件-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

直线 4.2.2 等差数列的前项和公式（第1课时） 新知探索 l , 将上述两式相加，可得： 个 所以， 倒 序 相 加 新知探索 问题2：上述方法的妙处在哪里？这种方法能够推广到等差数列的前项和吗？ l 可以发现，上述方法的妙处在于将“倒序”为 ，再将两式相加，得到个相同的数(即)相加，从而把不同数的求和转化为个相同的数求和. l 对于等差数列，因为，由上述方法得到启示，我们用两种方式表示： ， ② ， ③ 新知探索 l l ， ② ， ③ 个 ②③，得 由此得到等差数列的前项公式： (1) 新知探索 l l 对于等差数列，利用公式(1)，只要已知等差数列的首项和末项，就可以求得前项和.另外，如果已知首项和公差，那么这个数列就完全确定了，所以我们也可以用和来表示. (2) 把等差数列的通项公式代入公式(1)，可得 例析 例6.已知数列是等差数列. (1)若求； (2)若求； l 解(1)：因为，，根据公式，可得 . (2)因为，，∴根据公式，可得 例析 例6.已知数列是等差数列. (3)若求 l 解(3)：把，，代入，得 . 整理，得 解得，或(舍去). 所以. 例析 例7.已知一个等差数列前10项的和是310，前20项的和是1220.由这些条件能确定这个等差数列的首项和公差吗？ l 解：由题意，知. 把它们代入公式，得 解方程组，得 所以，由所给的条件可以确定等差数列的首项和公差. 一般地，对于等差数列，只要给定两个互相独立的条件，这个数列就完全确定. 19：例2、变式探究 新知探索 问题3：已知数列的前项和为，其中，，为常数，且.任取若干组，，，在电子表格中计算，，，，的值(图表示，，的情况)，观察数列的特点，研究它是一个怎样的数列，并证明你的结论. l 结论：已知数列的前项和为(为常数且)，则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列. 新知探索 l 已知数列的前项和为(为常数且)，则当时，数列为等差数列；当时，数列从第二项起为等差数列. 证明：当时， 当时， (1)当时，符合 ∴，此时数列为等差数列，且公差为. (2)当时，不符合 ∴此时数列从第二项起为等差数列，且公差为. 练习 方法技巧： 等差数列中的基本计算 1.利用基本量求值 等差数列的通项公式和前项和公式中有五个量，，，和，这五个量可以“知三求二”.一般是利用公式列出基本量和的方程组，解出和，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想. 2.结合等差数列的性质解题 等差数列的常用性质：若，则，常与求和公式结合使用. 练习 题型二：利用证明一个数列是等差数列 例2.已知为等差数列的前项和，，求证：数列是等差数列. 证明：[法一：定义法]设等差数列的首项为，公差为， 则∴ ∴(为常数)， ∴数列是等差数列. 练习 例2.已知为等差数列的前项和，，求证：数列是等差数列. 证明：[法二：等差中项法]∵， ∴，， ∴ ∴数列是等差数列. 新知探索 l 性质：若是等差数列，则也成等差数列，其首项与的首项相同，公差是的公差的一半. 性质：若分别为等差数列的前项，前项，前项的和，则也成等差数列，其公差为. 练习 方法技巧： 证明为等差数列的方程 1.定义法：(为常数)； 2.等差中项法：； 3.通项法：为的一次函数； 4.前项和法： 练习 题型一：等差数列前项和的性质 22：例1 练习 变2.已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足. (1)求证：数列是等差数列； 证明：当时，有，即， ∵，解得 当时，有 又，两式相减得 即，即∴或 若则，而，∴，与题意各项均正不符. ∴即， 因此数列是等差数列. 练习 变2.已知数列的各项均为正数，前项和为，且满足. (2)求数列的通项公式. 解：由(1)知，， ∴数列的通项公式为 练习 题型三：已知等差数列，求数列的前项和问题 例3.已知为等差数列，，求数列的前项和. 解：由于有正也有负，当时，； 当时，.当时，. 设数列的前项和为，则有 即 练习 方法技巧： 求数列的的前项和实际上是求数列前项和的绝对值之和.由绝对值的意义，我们必须分清这个数列的哪些项是负数，哪些项是非负数，然后再分段求前项各项的绝对值之和. 练习 变3.已知数列的前项和为，则数列的前10项和为？ 解：∵，当时， 当时，， ，即时不符合上式. ∴ 则数列从第2项起开始成等差数列，且前2项为负数，第3项为0，其余各项为正数， ∴ 题型二：等差数列前项和的最值问题 例9.已知等差数列的前项和为，若，公差