9.5 因式分解题型归纳 同步练习 2022--2023学年苏科版七年级数学下册

1 因式分解题型归纳 因式分解的应用（确定好一个因式） 1.阅读下列解答过程，然后回答问题： 已知有一个因式，求k的值． 解：设另一个因式为，则．即 （对任意实数x成立） 由此得：∴ (1)已知有一个因式，则另一个因式为_______________； (2)已知有一个因式，则m的值为________________； (3)已知多项式有一个因式，求k的值． 2.已知二次三项式有一个因式是，则m的值为______． 3．若多项式有一个因式为，那么_____． 4．若关于x的二次三项式x2﹣3x＋k有一个因式是（x﹣2），则k的值是________． 5．阅读理解应用 待定系数法：设某一多项式的全部或部分系数为未知数、利用当两个多项式为恒等式时，同类项系数相等的原理确定这些系数，从而得到待求的值． 待定系数法可以应用到因式分解中，例如问题：因式分解． 因为为三次多项式，若能因式分解，则可以分解成一个一次多项式和一个二次多项式的乘积． 故我们可以猜想可以分解成，展开等式右边得： ，根据待定系数法原理，等式两边多项式的同类项的对应系数相等：，，，可以求出，． 所以 (1)若取任意值，等式恒成立，则______； (2)已知多项式有因式，请用待定系数法求出该多项式的另一因式． (3)请判断多项式是否能分解成两个整系数二次多项式的乘积，并说明理由． 配方法因式分解及其应用 1.阅读材料利用公式法，可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，运用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解 例如 根据以上材料，解答下列问题． (1)分解因式（利用公式法）：； (2)已知的三边长a，b，c，且满足，求的最大边c的取值范围． (3)已知，，试比较P，Q的大小． 2．阅读材料：利用完全平方公式可以将一些形如的多项式变形为的形式，我们把这样的变形方法叫做多项式的配方法，利用多项式的配方法及平方差公式能对一些多项式进行因式分解． 例如：． 根据以上材料，解答下列问题： (1)分解因式（利用配方法）：； (2)求多项式的最小值； (3)比较与的大小，并说明理由． 3．阅读材料：将多项式因式分解． 原式＝ ＝ ＝ ＝． 这种因式分解的方法叫做配方法，它在代数求值、解方程、求代数极值等方面都有广泛的运用。比如在上述解题过程中， ∵≥0 ∴≥-1 即的最小值是-1 请根据对上述阅读材料的理解解决下列问题： (1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：________； (2)用配方法因式分解：，并直接写出它的最小值； (3)解分式方程：． 4．对于形如可用“配方法”将它分解成的形式，如在二次三项式中先加上一项，使它与的和成为一个完全平方式，再减去，它不会改变整个式子的值，其变化过程如下： 像这种“因式分解”的方法称为“配方法”请完成下列问题： (1)利用“配方法”分解因式：； (2)已知是的三边长，且满足，求的周长； (3)在实数范围内，请比较多项式与的大小，并说明理由． 5．教材中这样写道：“我们把多项式a2＋2ab＋b2及a2﹣2ab＋b2叫做完全平方式”，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式最大值，最小值等． 例如：分解因式x2＋2x﹣3 原式＝（x2＋2x＋1）﹣4＝（x＋1）2﹣4＝（x＋1＋2）（x＋1﹣2）＝（x＋3）（x﹣1）； 例如：求代数式x2＋4x＋6的最小值 原式＝x2＋4x＋4＋2＝（x＋2）2＋2，∵（x＋2）2≥0， ∴当x＝﹣2时，x2＋4x＋6有最小值是2 根据阅读材料用配方法解决下列问题： (1)分解因式：m2﹣4m﹣5＝　 　； (2)求代数式x2﹣6x＋12的最小值； (3)若y＝﹣x2＋2x﹣3，当x＝　 　．时，y有最   值（填“大”或“小”）， 这个值是　 　； (4)当a，b，c分别为△ABC的三边时，且满足a2＋b2＋c2﹣6a﹣10b﹣8c＋50＝0时，判断△ABC的形状并说明理由． 十字相乘法因式分解 1．运用十字相乘法分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 2．用十字相乘法分解下列因式． （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3．在因式分解的学习中我们知道对二次三