微专题12 轻松搞定空间几何体的体积问题-【微专题】2022-2023学年高一数学常考点微专题提分精练（人教A版2019必修第二册）

微专题12 轻松搞定空间几何体的体积问题 【题型归纳目录】 题型一：直接法 题型二：割补法 题型三：换底法 题型四：祖暅原理 【典型例题】 题型一：直接法 例1．（2023·广西北海·高一统考期末）已知直三棱柱的体积为，则三棱锥的体积是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设三棱锥的高为，则. 故选：D. 例2．（2023·山东青岛·高一山东省莱西市第一中学校考阶段练习）已知正三棱锥，，，为中点，则三棱锥的体积为（ ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】过S作垂直平面ABC，由题意得，O为底面ABC的中心，连接CO并延长，交AB于F，则F为AB中点 过D作DE垂直平面ABC，由题意得，E在CO上 因为， 所以， 因为D为SC中点， 所以， 在中，， 所以，， 所以，所以，即D到平面ABC的距离为1， 又的面积， 所以三棱锥的体积为. 故选：A 例3．（2023·高一课前预习）三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4，则该三棱锥的体积为（    ） A．4 B．6 C．12 D．24 【答案】A 【解析】因为三棱锥的底面为直角边长分别是2和3的直角三角形，高为4， 所以该三棱锥的体积为， 故选：A. 题型二：割补法 例4．（2023·重庆南岸·高三重庆市第十一中学校校考阶段练习）正三棱柱的所有棱长均为2，则三棱锥的体积为（    ） A．3 B． C．1 D． 【答案】D 【解析】. 故选：D 例5．（2023·全国·高一专题练习）已知在正方体中，截下一个四棱锥，，E为棱中点. (1)求四棱锥的表面积； (2)求四棱锥的体积与剩余部分的体积之比； (3)若点F是AB上的中点，求三棱锥的体积. 【解析】（1）四棱锥的表面由正方形ABCD和四个直角三角形所围成， ，，，则与全等，与全等， 因为，，， 所以 （2）设剩余部分的体积为，因为EC为四棱柱的高，且 所以 又正方体体积， （3），其中平面ABCD， 故 例6．（2023·全国·高三专题练习）在多面体中，四边形为矩形，O，M分别为，BC的中点，，，，，． (1)求多面体的体积； (2)求三棱锥的体积． 【解析】（1）将多面体补形得到直三棱柱，如图①， 因为，即S为的中点，所以， 又，故多面体的体积为． （2）如图②，将多面体补形为长方体，连接，则， 易知，又点O到平面MDC的距离为， 所以． 例7．（2023·新疆和田·高一校考期末）如图，正方体的棱长为，将它沿相邻三个面的对角线截出一个三棱锥，求剩下的几何体的体积． 【解析】由题意知，正方体的体积减去截去的三棱锥的体积,可得剩下的几何体的体积为： 余下几何体＝正方体－＝． 故答案为：． 例8．（2023·全国·高一专题练习）如图，在长方体中，是的中点，则三棱锥的体积为______. 【答案】10 【解析】由题意可得， 因为是的中点， 所以，， ，， 所以， 故答案为：10. 题型三：换底法 例9．（2023·全国·高三专题练习）已知正三棱锥，，，为中点，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示： 为中点， 三棱锥的体积为三棱锥体积的一半， 作于，平面于， 根据正三棱锥的结构特征可知，点为中点，点在上，且， 在中，易得，则， 在中，， 则， 则， 故选：A． 例10．（2023·全国·高一专题练习）已知、、是半径为的球的球面上的三个点，且，，，则三棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，，所以，的外接圆半径为， 所以，三棱锥的高为， 在中，由余弦定理可得， 所以，，所以，， 因为. 故选：B. 例11．（2023·天津·高一天津市蓟州区第一中学校联考期末）如图，长方体的体积是36，点E在棱上，且，则三棱锥的体积是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【解析】 故选：C. 例12．（2023·湖北襄阳·高一襄阳五中校考阶段练习）如图，已知是棱长为2的正方体，E为的中点，F为上一点，则三棱锥的体积是（    ） A．6 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】在正方体中，棱长为2，E为的中点，则， F为上一点，而平面，平面，则点F到平面的距离为长， 所以三棱锥的体积. 故选：B 例13．（2023·贵州黔东南·高一统考期末）已知A，B，C是半径为1的球О的球面上的三个点，且是斜边的等腰直角三角形，则三棱锥O－ABC的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为为等腰直角三角形，斜边， 所以外接圆的半径为，又球的半径为1， 设到平面的距离为， 则， 所以. 故选：B. 题型四：祖暅原理 例14．（2023·全国·高三专题练习）祖暅是我国南北朝时期伟大